Função Trigonométrica

por **petras** Qua 13 Jul 2022, 14:01

Uma plataforma de petróleo possui um mecanismo de perfuração constituído de uma broca e uma base de sustentação.
Quando a plataforma está desligada, a base de sustentação está sobre o solo e realiza um movimento cíclico de subida em 30 segundos com mesmo tempo para descida. A altura máxima atingida pela base é de 12 metros, e a altura mínima é no nível do solo.
A lei matemática que melhor representa a altura da base A(t), em metro, transcorridos t segundos após o início de funcionamento pode ser expressa por:

[latex]\\a) A(t)=12sen(\frac{\pi}{30} .t)\\ b) A(t)=12cos(\frac{\pi}{30} .t)\\ c) A(t)=6sen( \frac{\pi}{15}.t) + 6\\ d) A(t)=12sen( \frac{\pi}{60}.t)\\ e) A(t)=6cos(\frac{\pi}{15}.t) + 6\\[/latex]

Solução:

Alguém poderia opinar...
O período seria 60s
c = 2pi/60 = pi /30 por que seria a opção d se ela utiliza um período que não é o da máquina?
Substituindo t = 0 e t =30 na opção "e" encontramos 6m e 12m mas de forma invertida.???

por Pehcoutoo Qua 13 Jul 2022, 15:26

A princípio o melhor método pra resolver esse exercício é a pura e simples substituição:
Sabemos que: A(0) = 0 e A(30) = 12

Podemos eliminar a "c" e a "e" já que quando t = 0, A(0) = 6

Depois podemos eliminar a "b", já que quando t = 0 o valor da função cosseno será máximo, logo A(0) = 12, o que não bate com o enunciado.

Agora substituindo os valores em "a":
[latex]A(t)=12sen( \frac{\pi }{30} t )\Rightarrow A(30)=12sen( \frac{\pi }{30} 30) \Rightarrow A(30)=12sen( \pi ) [/latex]

[latex]sen \pi = 0 \therefore A(30) = 0[/latex], o que não condiz com o enunciado, logo a "a" é inválida.

Resta somente a "d":
[latex]A(t)=12sen( \frac{\pi }{60} t ) \Rightarrow A(30)=12sen( \frac{\pi }{60} 30 ) \Rightarrow A(30)=12sen( \frac{\pi }{2} ) [/latex]

[latex]sen ( \frac{\pi }{2} ) = 1 \therefore A(30) = 12[/latex], portando esta é a alternativa válida.

Entendo que seja estranho pois o gráfico da alternativa oscilaria para o negativo também, e no enunciado diz que o ponto mínimo é o solo...
Se houvesse algumas dessas funções: [latex]A(30)=12|sen( \frac{\pi }{60}t)|[/latex] ou [latex]A(30)=6-6cos( \frac{\pi }{30})[/latex] eu assinalaria fácil.

por **petras** Qua 13 Jul 2022, 15:34

Pehcoutoo escreveu:A princípio o melhor método pra resolver esse exercício é a pura e simples substituição:
Sabemos que: A(0) = 0 e A(30) = 12

Podemos eliminar a "c" e a "e" já que quando t = 0, A(0) = 6

Depois podemos eliminar a "b", já que quando t = 0 o valor da função cosseno será máximo, logo A(0) = 12, o que não bate com o enunciado.

Agora substituindo os valores em "a":
[latex]A(t)=12sen( \frac{\pi }{30} t )[/latex]
[latex]A(30)=12sen( \frac{\pi }{30} 30 )[/latex]
[latex]A(30)=12sen( \pi )[/latex]
[latex]sen \pi = 0 \therefore A(30) = 0[/latex], o que não condiz com o enunciado, logo a "a" é inválida.

Resta somente a "d":
[latex]A(t)=12sen( \frac{\pi }{60} t ) [/latex]
[latex]A(30)=12sen( \frac{\pi }{60} 30 ) [/latex]
[latex]A(30)=12sen( \frac{\pi }{2} ) [/latex]
[latex]sen ( \frac{\pi }{2} ) = 1 \therefore A(30) = 12[/latex], portando esta é a alternativa válida.

Entendo que seja estranho pois o gráfico da alternativa oscilaria para o negativo também, e no enunciado diz que o ponto mínimo é o solo...
Se houvesse algumas dessas funções: [latex]A(30)=12|sen( \frac{\pi }{60}t)|[/latex] ou [latex]A(30)=6-6cos( \frac{\pi }{30})[/latex] eu assinalaria fácil.

O que você fez eu já tinha feito e por isso coloquei a questão da alternativa correta estar utilizando um período que não é o da máquina...Ainda não consegui uma explicação .mas grato pela resposta

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