Projeção Ortogonal
2 participantes
Página 1 de 1
Projeção Ortogonal
por Hypatia de Alexandria Sex 29 Abr 2022, 19:01
Seja [latex]\underset{v}{\rightarrow}[/latex]= (a,b) o vetor com a>0 e norma igual a 2√5 que é perpendicular ao vetor [latex]\underset{r}{\rightarrow}[/latex]=(1,-2). Seja [latex]\underset{w}{\rightarrow}[/latex]a projeção ortogonal do vetor [latex]\underset{v}{\rightarrow}[/latex] na direção do vetor [latex]\underset{u}{\rightarrow}[/latex]= (1,-1). Se [latex]\Theta [/latex] é o ângulo entre os vetores [latex]\underset{v}{\rightarrow}[/latex] e [latex]\underset{v}{\rightarrow}[/latex] - [latex]\underset{w}{\rightarrow}[/latex], então:
Gabarito: cos [latex]\Theta [/latex]= 3/√10.
Estou tentando essa questão já faz horas e não consigo sair com a resposta. Alguém poderia ajudar nessa? Obg desde já.
Já entendi que o produto interno é 0, desse modo isolei o a e o b com esses termos e coloquei na fórmula da norma do vetor, sai com b=2 e a=4, lancei na fórmula da projeção ortogonal e achei (1,-1). Achei o resultado estranho e quando fui procurar o cosseno me enrolei toda.
Gabarito: cos [latex]\Theta [/latex]= 3/√10.
Estou tentando essa questão já faz horas e não consigo sair com a resposta. Alguém poderia ajudar nessa? Obg desde já.
Já entendi que o produto interno é 0, desse modo isolei o a e o b com esses termos e coloquei na fórmula da norma do vetor, sai com b=2 e a=4, lancei na fórmula da projeção ortogonal e achei (1,-1). Achei o resultado estranho e quando fui procurar o cosseno me enrolei toda.
Última edição por Hypatia de Alexandria em Sáb 30 Abr 2022, 10:51, editado 1 vez(es)
Hypatia de Alexandria- Iniciante
- Mensagens : 26
Data de inscrição : 03/11/2020
Re: PROJEÇÃO ORTOGONAL
por João Pedro Lima Sáb 30 Abr 2022, 01:05
Fala, Hypatia.
Bora:
1) Condição de perpendicularidade implica produto escalar nulo:
[latex]\vec{v}.\vec{r} = |\vec{v}||\vec{r}|.\cos(\theta) = 0[/latex]
(cos(theta) = cos(90) = 0)
Assim:
(a,b).(1,-2) = a - 2b = 0 -> a = 2b.
2) Norma do vetor v:
[latex]\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{4b^2+b^2} = \sqrt{5}.b = 2\sqrt5[/latex]
(Peguei o valor positivo de b pois a também é positivo)
Disso: b = 2, a = 4.
3) Projeção do vetor V no vetor U:
[latex]proj_{\vec{u}}\vec{v} = \frac{\vec{v}.\vec{u}}{\vec{u}.\vec{u}}.\vec{u} = \frac{(4,2).(1,-1)}{(1,-1).(1,-1)}.(1,-1) = \frac{4-2}{1+1}.(1,-1) = (1,-1)[/latex]
Tudo certo, mandou muito.
4)Ângulo entre o vetor v e o vetor v - w:
v = (4,2), v - w = (4,2) - (1,-1) = (3,3).
Isso dá para encontrar pelo produto interno entre dois vetores:
[latex]\vec{v}.[\vec{v}-\vec{w}] = |\vec{v}||[\vec{v}-\vec{w}]|.\cos(\theta)[/latex]
[latex](4,2).(3,3) = \sqrt{4^2+2^2}.\sqrt{3^2+3^2}.\cos(\theta)[/latex]
[latex]12 + 6 = \sqrt{16+4}.\sqrt{9+9}.\cos(\theta)[/latex]
[latex]18 = \sqrt{20}.\sqrt{18}.\cos(\theta)[/latex]
[latex]18 = 2\sqrt{5}.3\sqrt{2}.\cos(\theta)[/latex]
[latex]\frac{3}{\sqrt10} = \cos(\theta)[/latex]
Bora:
1) Condição de perpendicularidade implica produto escalar nulo:
[latex]\vec{v}.\vec{r} = |\vec{v}||\vec{r}|.\cos(\theta) = 0[/latex]
(cos(theta) = cos(90) = 0)
Assim:
(a,b).(1,-2) = a - 2b = 0 -> a = 2b.
2) Norma do vetor v:
[latex]\sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{4b^2+b^2} = \sqrt{5}.b = 2\sqrt5[/latex]
(Peguei o valor positivo de b pois a também é positivo)
Disso: b = 2, a = 4.
3) Projeção do vetor V no vetor U:
[latex]proj_{\vec{u}}\vec{v} = \frac{\vec{v}.\vec{u}}{\vec{u}.\vec{u}}.\vec{u} = \frac{(4,2).(1,-1)}{(1,-1).(1,-1)}.(1,-1) = \frac{4-2}{1+1}.(1,-1) = (1,-1)[/latex]
Tudo certo, mandou muito.
4)Ângulo entre o vetor v e o vetor v - w:
v = (4,2), v - w = (4,2) - (1,-1) = (3,3).
Isso dá para encontrar pelo produto interno entre dois vetores:
[latex]\vec{v}.[\vec{v}-\vec{w}] = |\vec{v}||[\vec{v}-\vec{w}]|.\cos(\theta)[/latex]
[latex](4,2).(3,3) = \sqrt{4^2+2^2}.\sqrt{3^2+3^2}.\cos(\theta)[/latex]
[latex]12 + 6 = \sqrt{16+4}.\sqrt{9+9}.\cos(\theta)[/latex]
[latex]18 = \sqrt{20}.\sqrt{18}.\cos(\theta)[/latex]
[latex]18 = 2\sqrt{5}.3\sqrt{2}.\cos(\theta)[/latex]
[latex]\frac{3}{\sqrt10} = \cos(\theta)[/latex]
João Pedro Lima- Jedi
- Mensagens : 218
Data de inscrição : 02/01/2022
Idade : 21
Localização : Rio de Janeiro, RJ
Hypatia de Alexandria- Iniciante
- Mensagens : 26
Data de inscrição : 03/11/2020
João Pedro Lima gosta desta mensagem
Tópicos semelhantes» projeção ortogonal
» Projeção Ortogonal
» projeçao ortogonal
» Projeção ortogonal.
» projecao ortogonal
» Projeção Ortogonal
» projeçao ortogonal
» Projeção ortogonal.
» projecao ortogonal
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos|
|
|
