projeção ortogonal

Determine a projeção ortogonal do ponto A (-1-,1,-1) sobre um plano alfa, que passa pelo ponto Qzero = (2,-2, 0) e é paralelo aos vetores v1=(1,-1,0) e v2=(1,0,2).
Alternativas:
a) (-1,-1, -4)
b) (4/7,4/7,1/7)
c)(5/16, 3/16, 7/16)
d) (1/7, 1 ,7)
e) ( -1/7, -1/7, -4/7)

olá mar.cela,

A (-1-,1,-1) -> A ( - 1, 1, - 1 ) ou A ( - 1, - 1, - 1 ) ?

Oi José Carlos, é (-1,-1,-1).

olá mar.cela,

Mesmo adotando o ponto A( -1, -1, -1 ) como correto eu não consegui chegar a nenhuma das opções apresentadas. Além disso é provável que eu esteja errando em algo.

Tomei, então, o ponto A( -1, -1, 1 )

Temos que o vetor normal ao plano será dado pelo produto vetorial, assim:

->..|.i......j.......k..|..............................->
n = |.1.... -1.....0.| = - 2*i - 2*j + 1*k -> n = ( -2, -2, 1 )
.....|.1......0.....2..|

n é ortogonal ao plano e então como o plano passa pelo ponto Q( 2, -2, 0) temos:

-2*(x - 2) - 2*(y + 2) + 1*(z - 0) = 0

- 2x - 2y + z = 0 -> equação do plano.

A projeção ortogonal do ponto A sobre o plano será o ponto de interseção da reta que passa por A, perpendicular ao plano.

Reta com vetor diretor n = ( -2, -2, 1 ) passando por A( -1, -1, 1 )

x + 1......y + 1.......z - 1
------ = ------ = -------
..-2.......... -2.........1

y = x

- 2z + 2 = x + 1 -> - 2z = x - 3 -> z = ( x - 1 )/-2

daí:

- 2x - 2( x ) + [( x - 1 )/-2 ] = 0

- 8x + x - 1 = 0

- 7x = 1 => x = - 1/7 => y = - 1/7

z = [ (- 1/7 ) - 1 ]/ -2 = [ - 8/7 )/-2 => z = 4/7

como podemos ver a resposta apenas parece combinar com o item "e" diferindo apenas quanto ao sinal de "z".
Assim espero que alguém possa nos ajudar.

José Carlos, tudo bom?
Gostaria que me esclarecesse o que foi feito dessa parte em diante, pois nao entendi.
Obrigada,
Marcela




Reta com vetor diretor n = ( -2, -2, 1 ) passando por A( -1, -1, 1 )

x + 1......y + 1.......z - 1
------ = ------ = -------
..-2.......... -2.........1

y = x

- 2z + 2 = x + 1 -> - 2z = x - 3 -> z = ( x - 1 )/-2

daí:

- 2x - 2( x ) + [( x - 1 )/-2 ] = 0

- 8x + x - 1 = 0

- 7x = 1 => x = - 1/7 => y = - 1/7

z = [ (- 1/7 ) - 1 ]/ -2 = [ - 8/7 )/-2 => z = 4/7

olá mar.cela,

Usei o fato de que a projeção do ponto sobre o plano será um ponto, interseção da reta que passa pelo mesmo e é perpendicular ao plano com o mesmo..........................->......................................................->
A reta que passa por A e é perpendicular ao plano terá então a mesma direção de ( n ).

Equação da reta que passa por um ponto e é perpendicular ao mesmo:

Reta com vetor diretor n = ( -2, -2, 1 ) passando por A( -1, -1, 1 )

x + 1......y + 1.......z - 1
------ = ------ = -------
..-2.......... -2.........1

Então, na reta, obtive y e z em função de x

depois substituí na equação do plano para calcular o ponto de interseção.