Matemática - Números Complexos VII

por coqzieiro Qua 27 Abr 2022, 06:36

1) Determine o conjunto A formado por todos os números complexos z tais que [latex]\frac{z'}{z-2i}+\frac{2z}{z'+2i}=3\, \, e\, \, 0<|z-2i|\leq 1[/latex].

OBS.: z' é conjugado de z.

Sem gabarito.

Desde já, muitíssimo obrigado pela ajuda! Very Happy

por **Elcioschin** Qua 27 Abr 2022, 11:50

z = a + b.i ---> z' = a - b.i

... a - b.i ........ 2.a + 2.b.i
-------------- + ------------- = 3
a + (b - 2).i ... a - (b - 2).i

Multiplique numerador e denominador de cada fração pelo conjugado do denominador

Faça as simplificações e obtenha A + B.i = 3 ---> A = 3 ---> B = 0

|z - 2.i| = |a + b.i - 2.i| = |a + (b - 2).i| = √[a² + (b - 2)²] ---> 0 < √[a² + (b - 2)²] < 1

por coqzieiro Qua 27 Abr 2022, 21:50

pelas minhas contas encontrei: [latex]\frac{z'}{z-2i}+\frac{2z}{z'+2i}=\frac{a-bi}{a+(b-2)i}+\frac{2a+2bi}{a+(-b+2)i}=\frac{3a^{2}-b^{2}+2b}{a^{2}+(b-2)^{2}}+\frac{(-2a+4ab)i}{a^{2}+(b-2)^{2}}[/latex]

Daí, fazendo as igualdades que você sugeriu:

[latex]\frac{3a^{2}-b^{2}+2b}{a^{2}+(b-2)^{2}}=3\Rightarrow b=2 \, ou\, b=\frac{3}{2}[/latex]

e ainda, [latex]-2a+4ab=0\Rightarrow a=0\,\, ou\, \, b=\frac{1}{2}[/latex]

Mas no caso, o conjunto A seria a intersecção ou a união desses resultados?

Grato.