Matemática - Números Complexos I

Se 3+4.i é a raiz cúbica de um complexo z, então o produto das outras raízes cúbicas de z é:

a) -7+24.i
b) 7-24.i
c) 24+7.i
d) -24-7.i
e) -7-24.i

Não tenho o gabarito.

Acho que minha dúvida nessa questão é trabalhar com os ângulos não notáveis desse complexo:

se [latex]\sqrt[3]{z}=3+4i \Rightarrow z=(3+4i)^{3} \Rightarrow z=-117+44i[/latex], portanto, |z| = 125


logo, [latex]\Theta = arg(z) \Rightarrow tg(\Theta )=\frac{Im(z)}{Re(z)} = \frac{44}{-117} \approx -0.37 [/latex]


então, [latex]\Theta = arctg(-0,37) \approx -0,37 \approx arg(z) [/latex]


daí só na calculadora, [latex]\sqrt[3]{z}=5.cis(\frac{-0,37}{3}+\frac{2k\pi}{3} ), k=0,1,2, ....,n-1[/latex]


Gostaria de saber se existe outro caminho..


Desde já, muito obrigado pela ajuda!! 

Olá coqzieiro;

As raízes terças de [latex]z = (3 + 4i)^3 = p \cdot cis \theta[/latex] são pela lei de Moivre:

[latex]\sqrt[3]{p} \cdot cis (\frac{\theta}{3})[/latex]

[latex]\sqrt[3]{p} \cdot cis (\frac{\theta + 2\pi}{3})[/latex]

[latex]\sqrt[3]{p} \cdot cis (\frac{\theta + 4\pi}{3})[/latex]


Tomando o produto de todas:

[latex]X = \sqrt[3]{p} \cdot cis (\frac{\theta}{3}) \cdot \sqrt[3]{p} \cdot cis (\frac{\theta + 2\pi}{3}) \cdot \sqrt[3]{p} \cdot cis (\frac{\theta + 4\pi}{3}) = (\sqrt[3]{p})^3 \cdot cis(\frac{3 \theta + 6\pi}{3}) [/latex]

[latex]X = p \cdot cis(\theta + 2 \pi) = p\cdot cis(\theta) = z = (3 +4i)^3[/latex]

Mas queremos, só o produto de duas. Excluindo (3 + 4i) do produto:

[latex]\frac{X}{(3+4i)} = \frac{(3+4i)^3}{(3+4i)} = (3+4i)^2 = -7 + 24i[/latex]

Creio que seja isso.

Bons estudos

Sacada sensacional joaoZacharias,

Cara, muito obrigado.