Matemática - Números Complexos III

por coqzieiro Qua 30 Mar 2022, 16:34

Se [latex]w^{1997}=1\, e\, w\neq 1[/latex], então o valor da soma dos algarismos de 4.S, tal que [latex]S = \frac{1}{w}+\frac{1}{w^{2}}+\frac{1}{w^{3}}+...+\frac{1}{w^{1997}}[/latex], é igual a:

a) 21
b) 22
c) 23
d) 24
e) 25

Não tenho o gabarito.

Desde já, muitíssimo obrigado pela ajuda!!! cheers

por **Giovana Martins** Sáb 02 Abr 2022, 22:22

Up!

Estou há um tempão tentando solucionar esta questão, mas não consigo

.

Tentei usar uma ideia de uma questão da Mandelbrot Competition que eu vi uma vez, mas não saiu. A questão a qual eu me refiro tem um enunciado parecido com o desta questão. Não sei se serve de algo, mas segue:

(Mandelbrot) If ω¹⁹⁹⁷=1 and ω≠1, then evaluate:

[latex]\\\mathrm{\frac{1}{1+\omega }+\frac{1}{1+\omega ^2}+...+\frac{1}{1+\omega ^{1997}}}[/latex]

Dica:

[latex]\\\mathrm{Calcule\ \frac{1}{1+\omega ^k}+\frac{1}{1+\omega ^{1997-k}},k=\left \{ 1,2,...,998 \right \}.}[/latex]

Se eu bem me lembro, a questão era assim (não lembro como era a resolução). Essa dica, se eu não estiver falando besteira, remete à técnica de Gauss para determinar a soma dos termos de uma P.A.. Acho que era essa a ideia se eu não estiver esquecendo algo.

Eu também pensei em usar o seguinte cálculo (se eu não estiver violando nenhum conceito dos números complexos):

[latex]\\\mathrm{\frac{1}{\omega ^k}+\frac{1}{\omega ^{1997-k}}=\frac{1}{\omega ^k}+\omega ^k=2cos(k\theta )}[/latex]

Enfim, se alguém souber, nos ajude Smile

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por joaoZacharias Sáb 02 Abr 2022, 23:26

Boa noite.

Como a questão é objetiva eu vou propor uma resolução mais direta. Basta perceber que S se trata da soma dos termos de uma PG de termo inicial 1/w e razão 1/w. O único problema é que eu estou obtendo como resultado um certo número redondo...

[latex]S = \frac{\frac{1}{w^{1998} }-\frac{1}{w}}{\frac{1}{w} -1} = \frac{1-w^{1997}}{w^{1997}(1-w)}, \text{ } w \neq 1[/latex]

[latex]w^{1997} =1, \text{ } \text{ } S = \frac{1-w^{1997}}{w^{1997}(1-w)} \implies S =0 \implies 4S =0 [/latex]

Bons estudos a todos Smile

por **Giovana Martins** Sáb 02 Abr 2022, 23:40

Muito obrigada, João. Será que essas alternativas estão erradas? Eu fiz o mesmo que você e fiquei um tempão pensando que eu estava fazendo besteira Smile

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por coqzieiro Dom 03 Abr 2022, 09:10

João, o seu raciocínio faz sentido, foi a primeira coisa que pensei em fazer, mas não bate com as alternativas.

Matemática - Números Complexos III Whatsa12

Essa a é questão original. Não descarto a possibilidade das alternativas estarem equivocadas.

por coqzieiro Dom 03 Abr 2022, 09:39

Como se trata de números complexos, deve ter uma saída usando as suas propriedades. Inicialmente eu pensei em usar as raízes da unicidade:

[latex]w^{1997}=1\, \Rightarrow \, w^{1997}-1=0\, \Rightarrow \, (w-1)(1+w+w^{2}+...+w^{1996})\, \,,\, \, w\neq 1[/latex]

Daí, [latex](1+w+w^{2}+...+w^{1996})=0[/latex] (i)

De forma análoga, [latex]S = \frac{1}{w}+\frac{1}{w^{2}}+...+\frac{1}{w^{1997}}\, ,mas\, \, se\, \, w^{1997}=1\Rightarrow \frac{1}{w^{1997}}=1[/latex]

Então, [latex]S = 1 + \frac{1}{w^{2}}+...+\frac{1}{w^{1996}}[/latex] (ii)

Talvez se relacionarmos (i) e (ii) com aquilo que a Giovana Martins escreveu, podemos chegar a um resultado:

[latex]\frac{1}{w^{k}}+w^{k}=2cos(k\theta )[/latex]

Ainda não consegui relacionar, mas meu instinto está me dizendo que 4S = 1996, daí a soma dos algarismos seria 1+9+9+6 = 25

Um pouco carteado, mas acho que é isso kkkk

Se alguém souber como chegar corretamente ao resultado, compartilhe por gentileza!

Matemática - Números Complexos III 503132

Matemática - Números Complexos III 503132

por joaoZacharias Dom 03 Abr 2022, 11:10

Bom dia;

Não vejo nenhum erro em utilizar a fórmula da soma dos termos de uma PG no reino dos complexos, desde que não se faça nenhuma operação ilícita como divisão por zero por exemplo. Mas a dedução da fórmula de PG usa soma, subtração, multiplicação e divisão e, no caso, só não funciona(não está definida) quando a PG é constante( razão =1) .
Pelo enunciado:

[latex]w \neq 1 \implies \frac{1}{w} \neq 1 \implies \text{razao} \neq 1[/latex]

Portanto, utilizar a fórmula da PG é válido.

Vou desenvolver por outro modo pegando emprestado esse trecho que você escreveu.

coqzieiro escreveu:

[latex]w^{1997}=1\, \Rightarrow \, w^{1997}-1=0\, \Rightarrow \, (w-1)(1+w+w^{2}+...+w^{1996}) = 0\, \,,\, \, w\neq 1[/latex]

Daí, [latex](1+w+w^{2}+...+w^{1996})=0[/latex] (i)

Vou mostrar que [latex]S = 1+w+w^{2}+...+w^{1996} = 0 [/latex]

[latex]w^{1997} = 1, \text{ } \text{ } S = \frac{1}{w} + \frac{1}{w^2} + \frac{1}{w^3} + ... + \frac{1}{w^{1997}} \implies[/latex]

[latex]S \cdot w^{1997} = w^{1997}\cdot (\frac{1}{w} + \frac{1}{w^2} + \frac{1}{w^3} + ... + \frac{1}{w^{1997}}) \implies[/latex]

[latex] S \cdot (1) = (w^{1996} + w^{1995} + w^{1994} + ... + 1)[/latex]

Mas como você disse [latex](1+w+w^{2}+...+w^{1996})=0[/latex]

[latex]\therefore S = 0[/latex]

Bons estudos Smile