Matemática Números complexos

por Convidado Sáb 14 Jan 2017, 01:36

Vim compartilhar com vocês uma questão que achei interessante:
Dada a equação Z²- 2cos( π /8)Z +1= 0 Z ∈ C

Calcule o módulo de (Z³+1/Z³)(Z^5-1/Z^5)

Resposta $2^{\frac{1}{2}}$

por **Giovana Martins** Sáb 14 Jan 2017, 10:04

Agora, jogando esse cosseno na equação do segundo grau você deve achar o valor de Z.

Vai dar trabalho...

por Convidado Sáb 14 Jan 2017, 11:03

Giovana Martins escreveu:

Agora, jogando esse cosseno na equação do segundo grau você deve achar o valor de Z.

Vai dar trabalho...

Olá Geovana, então legal você ter descoberto cos(pi/ Cool

, mas assim vai dar trabalho de mais não sei se é a forma mais e eficaz , por que depois calcular vai ter que elevar ao cubo e depois a 5, mas caso você alguém queira tentar é melhor usar notações especiais dos números complexos, como e^ix, acho que assim sai.

por **Giovana Martins** Sáb 14 Jan 2017, 11:17

Oi, Fipe!

Eu realmente não sei utilizar a propriedade e^ix, pois não a conheço, mas quanto às potências de 3 e 5, ache Z e depois aplique De Moivre (z^n=|z|^(n).cis (nθ)) que dá uma diminuída nos cálculos. Fipe, no momento eu não vou poder desenvolver a questão, visto que vou ter que dar uma saída. Hoje a noite eu irei logar e aí eu tentarei procurar uma saída mais simples.

por Convidado Sáb 14 Jan 2017, 14:46

Olha só a resolução do lucas do vale: Seja z=|z|cis x -> |(z^3+1/z^3)(z^5-1/z^5)|=4•|z|^8•sen5x•cos3x. Da equação: delta=4cos^2( $\frac{ \pi }{8}$ )-4=-4sen^2( $\frac{ \pi }{8}$ ) -> z=1/2(2cos( $\frac{ \pi }{8}$ )+2isen( $\frac{ \pi }{8}$ ))=cis( $\frac{ \pi }{8}$ ), logo |z|=1 e x= $\frac{ \pi }{8}$ -> 4•|z|^8•sen5x•cos3x=4•sen(90+22,5)•cos(90-22,5)=4•sen(22,5)•cos(22,5)=2 sen(45)=sqrt2

Eu tentei pela notação e^ix, quase consegui, mas foi isso ai a resolução.

por **Giovana Martins** Sáb 14 Jan 2017, 20:20

Me parece ser uma boa resolução, mas não consegui entender muito bem esta igualdade |(z^3+1/z^3)(z^5-1/z^5)|=4•|z|^8•sen5x•cos3x Sad

. De onde surgiu isto 4•|z|^8•sen5x•cos3x? haha

por Convidado Dom 15 Jan 2017, 00:21

Giovana Martins escreveu:Me parece ser uma boa resolução, mas não consegui entender muito bem esta igualdade |(z^3+1/z^3)(z^5-1/z^5)|=4•|z|^8•sen5x•cos3x . De onde surgiu isto 4•|z|^8•sen5x•cos3x? haha

geovana surgiu da expressão Z^n=|Z|^n(cisnx)
aí fica Z^3 +Z^-3=cis(3x)+cis(-3x)=2cos3x, de modo análogo a outra expressão mas, como ele pediu o módulo então pode se elimina a raiz negativa