Triângulo equilátero

Dados os pontos e , determine as
coordenadas do ponto de modo que o
triângulo seja equilátero. [Há duas
soluções, e . Para obtê-las,
observe que , e escreva
explicitamente a igualdade .]

Reta que passa por A e B:

(y+b)/(2b) = (x+a)/(2a)

(y+b) = (x+a)

(y+b) = b*(x+a)

y = (b/a)*x -> m = (b/a)

Reta perpendicular à reta por A e B passando pelo ponto (0, 0):

y - 0 = ( - a/b )*x

y = ( - a/b)*x

Distância de A a B:

d(A,B)² = (a+a)² + (b+b)² = 4*(a² + b²)

Circunferência com centro na origem (0, 0) e raio igual a 2*\/(a²+b²):

( x - 0 )² + ( y - 0 )² = 4*(a²+b²)

x² + y² = 4*(a²+b²)

Interseção da circunferência com a reta y = ( - a/b)*x :

x² + ( -a/b)*x)² = 4*(a² + b²)

desenvolvendo temos:

x² = 4*b² -> x = 2*b ou x = - 2b

para x = 2*b:

P1( 2b, - 2a )

para x = - 2*b:

P2( - 2b, 2a )

Distâncias:

d(P1,A)² = ( - 2b + a)² + (2a + b)² = 5*( a² + b² )

d(P1,B)² = (- 2b-a)² + ( 2a-b)² = 5*(a² + b² )