Triângulo equilátero

por israel1234 Qui 15 Jan 2015, 10:55

½
Determine os vértices B e C de um triângulo equilátero ABC, sabendo que o ponto médio do lado AB é M(3 ;1) e A é a origem do sistema.

Vlw!!!

por **Carlos Adir** Qui 15 Jan 2015, 11:52

Se A é a origem, e M é o ponto médio, então:
$\left(\dfrac{x_1+0}{2}; \ \ \dfrac{y_1+0}{2} \right )=(3,1) \Rightarrow B=(6, 2)$
Agora podemos fazer por trigonometria, ou por meio de circunferências:
Lado = d(AB) = √(6²+2²) = 2√10
Circunferência de centro em A e de raio 2√10
x²+y²=40 -->y=√(40-x²)
Circunferência de centro em B e de raio 2√10
(x-6)²+(y-2)²=40

Achando o ponto de intersecção:
$\\ (x-6)^2+(\sqrt{40-x^2}-2)^2=40 \\ x^2-6x+6=0 \\ x=\dfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ x=3 \pm \sqrt{3}$
$\\ x_1 = 3 + \sqrt{3} \\ x_2 = 3 - \sqrt{3}$
Achando então y:
$\\ (3\pm\sqrt{3})^2+y^2=40 \Rightarrow y = \sqrt{28 \mp 6\sqrt{3}}$
Logo, temos os pontos:
$\\ C=\left(3-\sqrt{3}; \ \ \ \sqrt{28+6\sqrt{3}} \right ) \\ D=\left(3+\sqrt{3}; \ \ \ \sqrt{28-6\sqrt{3}} \right )$
Triângulo equilátero PA0gphS

por israel1234 Qui 15 Jan 2015, 17:49

HUmm..
Mas porque o ponto C ou o D se localiza na intersecção das circunferências?

Obrigado!!!

por **Euclides** Qui 15 Jan 2015, 19:20

israel1234 escreveu:HUmm..
Mas porque o ponto C ou o D se localiza na intersecção das circunferências?

Obrigado!!!

Por construção geométrica

Triângulo equilátero 100000

por israel1234 Sex 16 Jan 2015, 14:10

Entendi é porque o triangulo é equilátero e os raios são os mesmos! Muito obrigado cara!!

por **Medeiros** Sáb 17 Jan 2015, 05:04

Racionalizando a boa solução do Carlos Adir,

Triângulo equilátero 2vvkyo5

por israel1234 Seg 19 Jan 2015, 21:58

Não entendi a racionalização medeiros, poderia me ajudar?

Obrigado.

por **Carlos Adir** Seg 19 Jan 2015, 22:09

Digamos, primeiramente que:
$\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{x+\sqrt{y}}$
Esta é uma forma de racionalizar, elevando ambos membros ao quadrado:
$a+b+\sqrt{4ab}=x+\sqrt{y}$
Portanto, dizemos que
a+b = x
4ab=y
No caso, temos que não sabemos os valores de a e de b:
$\\ \begin{cases}a+b=28 \Rightarrow a=28-b \\ 4ab = 6^2 \cdot 3 \Rightarrow ab=27 \end{cases} \\ \left(28-b \right ) \times b = 2 \\ \Rightarrow b^2 -28b+27=0 \\ \Rightarrow b= 1 \\ \Rightarrow a=27$
Logo, temos então:
$\\ \sqrt{28 \mp 6\sqrt{3}}=\sqrt{27} \mp \sqrt{1} \\ \Rightarrow \sqrt{28 \mp 6\sqrt{3}}=3\sqrt{3} \mp 1$

Essa é a maneira que eu uso pra racionalizar, contudo, não sei se é melhor ou mais fácil que a do Medeiros

por **Medeiros** Ter 20 Jan 2015, 01:30

Carlos Adir e Israel,
eu já bitolei no uso da fórmula abaixo, onde considera-se a obtenção do valor "c" e usamos a fórmula se (a+c) ou (a-c) resulta conveniente para simplificar.

Triângulo equilátero 2e6bpcp

Há muito tempo, neste fórum, um colega pediu e eu apresentei uma prova disto; mas não a tenho de cor (nem 'de escrito').

por **Elcioschin** Ter 20 Jan 2015, 08:14

√(A ± √B) = √x + √y ---> Elevando ao quadrado:

A ± √B = x + y + 2.√(xy) ---> A ± √B = x + y + √(4.x.y) ---> Igualando termos racionais e irracionais:

x + y = A ---> I
4.x.y = B ---> y = B/4.x ---> II

II em I ---> x + B/4.x = A ---> x² - A.x + B/4 = 0 ---> x = [A ± √(A² - B)]/2

Agora calcule y e volte à fórmula original