vetores

Dois vetores de módulos 3 e 4 são somados. Se a soma vetorial destes dois vetores é √37 , então eles formam entre si um ângulo, em graus, de:

a) 0 b) 30 c) 60 d) 90

Eu tinha chegado até √37 = cosα  mas não sei como isso deu ângulo de 60 graus

Faça um esboço dos 2 vetores e realize a soma pelo método do paralelogramo, o vetor resultante irá dividir o ângulo θ ao meio, formando um triângulo com dois ângulos θ/2, então o ângulo que falta, e que é o oposto ao vetor resultante é dado por 180 - θ(triângulo fechado).
Utilizando a lei do cossenos:
[latex] a^2=b^2+c^2-2bc.cos\theta  [/latex]
No nosso caso, a = √37, b = 3 e c = 4 e o ângulo é 180 - θ. Sabendo que cos(180 - θ) = -cosθ:
[latex] (\sqrt{37})^2=3^2+4^2-2.3.4.cos(180^{\circ} - \theta)  
\rightarrow 37 = 9 + 16 -24(-cos\theta) \rightarrow 24cos\theta=12 
\therefore cos\theta=\frac{1}{2} \therefore \theta=arccos(\frac{1}{2})=60^{\circ} [/latex]

Você aplicou a propriedade distributiva no cos(180 -  θ )?


Ah, já compreendi. O cosseno de 180 é -1...

Você não pode aplicar distributiva dentro do ângulo de funções trigonométricas, é necessário utilizar alguma propriedade conhecida, nesse caso há algumas possibilidades:
1) cos(180 -  θ) é a transformação do cosseno de um ângulo do segundo quadrante para o primeiro, que gera cos(180 -  θ) = - cos(θ).
2) Utilizando a fórmula da subtração de arcos:
[latex] cos(a - b)=cosa.cosb+sena.senb [/latex]
Logo:
[latex] cos(180 - \theta)=cos180.cos\theta + sen180.sen\theta
=(-1).cos\theta + 0.sen\theta=- cos\theta [/latex]

No fim de tudo, basicamente quando se fala de soma de vetores é apresentado a seguinte fórmula: 
[latex] a^2=b^2+c^2+2bc.cos\theta [/latex]
Em que esse θ é o ângulo entre os vetores. Essa é a fórmula final após fazer os passos que foram mostrados acima e também usados na primeira resposta, então para realizar a soma de 2 vetores você pode sempre utilizar essa fórmula direto.
A imagem do que foi feito na primeira mensagem: