Perpendicularidade de vetores

por Kulo Qua 13 Set 2017, 16:41

Sejam u + v e u - v vetores perpendiculares. Mostre que |u| = |v|.

por **Carlos Adir** Qua 13 Set 2017, 16:55

Se temos que (u+v) e (u-v) são perpendiculares, então seu produto escalar será zero. Logo:

$\\ \langle \vec{u}+\vec{v}, \ \vec{u} - \vec{v} \rangle = 0 \\ \Rightarrow \langle \vec{u}, \ \vec{u}-\vec{v} \rangle + \langle \vec{v}, \ \vec{u}-\vec{v} \rangle = 0 \\ \Rightarrow \left(\langle \vec{u}, \ \vec{u}\rangle - {\color{Red} \langle \vec{u}, \ \vec{v} \rangle} \right ) + \left({\color{Red} \langle \vec{v}, \ \vec{u} \rangle} - \langle \vec{v}, \ \vec{v} \rangle \right ) = 0 \\ \Rightarrow \langle \vec{u}, \ \vec{u} \rangle - \langle \vec{v}, \ \vec{v} \rangle = 0 \\ \Rightarrow \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 = 0 \\ \Rightarrow \|\vec{u}\|^2 = \|\vec{v}\|^2 \\ \Rightarrow \|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$

Obs: $\langle \vec{u}, \ \vec{v} \rangle = \mathrm{Produto \ escalar \ de \ } \vec{u} \ \mathrm{com} \ \vec{v}$

Questão movida para Geometria Analítica

por Kulo Qua 13 Set 2017, 17:01

Muito obrigado, Carlos. Estava usando a fórmula do cosseno e afins e não tava conseguindo... Na segunda linha você aplicou a distributiva, não foi? Valeu mais uma vez.