IME - 1991 - Conjuntos
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IME - 1991 - Conjuntos
por Katsmoking Ter 01 Mar 2022, 15:38
Dado o conjunto A = { 1, 2, 3, ..., 102}, pede-se o número de subconjuntos de A, com três elementos, tais que a soma destes seja um múltiplo de três.
- Gabarito:
- 57256
Última edição por Katsmoking em Ter 01 Mar 2022, 19:30, editado 1 vez(es)
Katsmoking- Iniciante
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Re: IME - 1991 - Conjuntos
por renan2014 Ter 01 Mar 2022, 17:33
A ideia é descobrir primeiro qual tipos de elementos eu devo ter em um subconjunto com 3 elementos para a soma ser múltipla de 3.
Em um subconjunto com três elementos para soma ser múltipla de três, eu posso ter:
I) Todos múltiplos de 3.
II) Todos que deixam resto 1 na divisão por 3.
III) Todos que deixam resto 2 na divisão por 3.
IV) Um subconjunto com um elemento múltiplo de três, um elemento que deixa resto 1 por 3 e um elemento que deixa resto 2 por 3.
Para ver que são somente esses casos, analise a módulo 3 com {0,1,2} como se fosse os únicos possíveis elementos à entrar nesse conjunto.
No caso I),
34^3 + 3*5984 = 57256
Em um subconjunto com três elementos para soma ser múltipla de três, eu posso ter:
I) Todos múltiplos de 3.
II) Todos que deixam resto 1 na divisão por 3.
III) Todos que deixam resto 2 na divisão por 3.
IV) Um subconjunto com um elemento múltiplo de três, um elemento que deixa resto 1 por 3 e um elemento que deixa resto 2 por 3.
Para ver que são somente esses casos, analise a módulo 3 com {0,1,2} como se fosse os únicos possíveis elementos à entrar nesse conjunto.
No caso I),
Devo escolher três múltiplos de 3 distintos entre 1 e 102. Entre 1 e 102 há 102/3 = 34 múltiplos de 3.
34 escolhe 3 =
[latex]\binom{34}{3} = 5984[/latex]
No caso II),Devo escolher três números que deixam resto 1 por 3. Há também 34 números nessa condição. Basta ver que há 34 blocos (1 2 0) módulo 3 que se repetem até chegar no 102.
34 escolhe 3 =
[latex]\binom{34}{3} = 5984[/latex]
Na caso III),
Devo escolher três números que deixam resto 2 por 3. Há também 34 números nessa condição. Basta ver que há 34 blocos (1 2 0) módulo 3 que se repetem até chegar no 102.
34 escolhe 3 =
[latex]\binom{34}{3} = 5984[/latex]
No caso IV),
Devo escolher três números para representar unicamente o 0, 1 e 2 módulo 3, ou seja, um elemento múltiplo de três, um elemento que deixa resto 1 por 3 e um elemento que deixa resto 2 por 3.
Como cada grupo da congruência há 34 possibilidades, será 34^3 pelo princípio fundamental da contagem.
Logo, somando tudo, teremos que o número total de subconjuntos será:
34^3 + 3*5984 = 57256
renan2014- Jedi
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Katsmoking gosta desta mensagem
Re: IME - 1991 - Conjuntos
por Katsmoking Ter 01 Mar 2022, 19:30
Muito obrigado!! Essa dúvida estava me matando, não conseguia compreender por nada essa primeira etapa do porquê separar em 4 categorias, extremamente agradecido!
Katsmoking- Iniciante
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