(UnB 2014) - Termodinâmica

O Sol é uma importante fonte de energia em Marte. Além da energia elétrica obtida por meio de células fotovoltaicas, a energia solar pode ser explorada nos processos de aquecimento termodinâmico. O gás argônio, encontrado em maior porcentagem na atmosfera de Marte que na atmosfera da Terra, poderia ser utilizado como fluido de trabalho em uma máquina de Carnot em que o Sol fosse a fonte mais quente de energia. O diagrama P versus V de uma máquina de Carnot, apresentado abaixo, ilustra essa situação.


Tendo como referência essas informações, julgue os itens subsequentes.

ITEM:

A quantidade de calor Qf liberado por molécula do gás argônio para o reservatório frio é igual a 200kB × ln 3, em que kB é a constante de Boltzmann.

Gabarito: Certo

Fala pessoal, beleza?
Não estou conseguindo chegar nesse ln 3.
Já consegui desenvolver o seguinte:

Qf/molec = Resposta
Qq = Qf + W
Qf = Qq - W
porém
n = 1 - 200/ 300
n = 1/3
1/3 = W/Qq
Qq = 3W

Qf = 3W - W
Qf = 2W

molecs = n . NAV (NAV = número de avogrado)

Então temos

2W/ n . Nav 

W = p. AV
pV = n R T
p = n R T / V

2 n R T . AV / n . Nav . V = R

R / Nav = kB

2 kB T AV / V = R

T = 200

400 kB AV/V

Aí travei, como chegar nesse ln3?

2AV/V . 200kB

Então 2AV/ V = ln3

Alguém saberia o porque?
Valeu

O ln3 vem do cálculo do trabalho de uma isoterma: W = nRTln(Vf/Vi). Fiz assim:
[latex] \eta =1-\frac{T_f}{T_q}=1-\frac{200}{300}=\frac{1}{3} [/latex]
[latex] \eta =\frac{|W|}{Q_q}\rightarrow |W| =\frac{Q_q}{3}=\frac{\Delta U+W_{a,b}}{3} 
=\frac{0+nRTln(\frac{30}{10})}{3}=100nRln3 \therefore |W|=100nRln3 [/latex]
Como o ciclo é uma maquina térmica que realiza trabalho, essa energia é perdida, logo W = -100nRln3
O ciclo é fechado, logo: Qf + Qq + W = 0
[latex] Q_f=-Q_q-W=-300nRln3-(-100nRln3)=-200nRln3 [/latex]
Manipulando a expressão para o número N de moléculas:
[latex] PV=Nk_bT \rightarrow nRT=Nk_bT \rightarrow N=\frac{nR}{k_b}  [/latex]
Por fim, encontrando Qf/N:
[latex] \frac{Q_f}{N}=\frac{-200nRln3}{\frac{nR}{k_b}}=-200k_bln3 [/latex]
Seu valor é negativo pois é liberado para o ambiente, como o enunciado pediu o calor liberado, basta tirar o valor negativo: 200.kb.ln3
Penso que o seu erro foi nessa passagem, em que você fez essa substituição do trabalho total do sistema por p.AV.

gusborgs escreveu:2W/ n . Nav 

W = p. AV

Muito bom! Muito obrigado pela resolução
Iria ficar horas tentando e não chegaria nesse resultado.
Abraços