Aritimética
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Aritimética
por mk00939999299324009239481 Ter 02 Nov 2021, 00:34
Mostre que, para todo [latex]n\in \mathbb{N}[/latex], o número [latex]\frac{3}{5}n^{5}+\frac{2}{3}n^{3}+\frac{11}{15}{n}[/latex], é natural.
mk00939999299324009239481- Iniciante
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Re: Aritimética
por SilverBladeII Qua 03 Nov 2021, 19:16
reduzindo a um denominador comum, obtemos
(9n^5+10n^3+11n)/15
ou seja, basta provar que 9n^5+10n^3+11n é divisivel por 3 e 5
ora,
[latex]9n^5+10n^3+11n\equiv n^3+2n\equiv n^3-n\pmod{3}[/latex]
pelo peq. teo. de fermat (PTF) sabemos que essa última expressão é sempre divisivel por 3.
Por outro lado,
[latex]9n^5+10n^3+11n\equiv -n^5+n \pmod{5}[/latex]
e, novamente pelo PTF, a ultima expressão é sempre divisivel por 5.
temos o que queríamos
(9n^5+10n^3+11n)/15
ou seja, basta provar que 9n^5+10n^3+11n é divisivel por 3 e 5
ora,
[latex]9n^5+10n^3+11n\equiv n^3+2n\equiv n^3-n\pmod{3}[/latex]
pelo peq. teo. de fermat (PTF) sabemos que essa última expressão é sempre divisivel por 3.
Por outro lado,
[latex]9n^5+10n^3+11n\equiv -n^5+n \pmod{5}[/latex]
e, novamente pelo PTF, a ultima expressão é sempre divisivel por 5.
temos o que queríamos
SilverBladeII- Matador
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