Teste 376 FME vol1 Função inversa

por felipeomestre123 Sex 22 Out 2021, 09:29

(UNICAP-87) Seja [latex]f:[1,+\infty )\rightarrow [-3,+\infty )[/latex] a função definida por [latex]f(x)=3x^{2}-6x[/latex]. Se [latex]g: [-3,+\infty )\rightarrow [1,+\infty )[/latex] é a função inversa de [latex]f[/latex], então [latex]|g(6)-g(3)|^{2}[/latex] é igual a:

a) 5

b) 1

c) [latex]5+2\sqrt{6}[/latex]

d) [latex]-5+2\sqrt{6}[/latex]

e) [latex]5-2\sqrt{6}[/latex]

Gabarito:

Pessoal, consegui resolver a questão, mas vi que ela não tem resolução na internet. Logo, gostaria que resolvessem, para que eu pudesse ver uma forma além da minha. A questão é legalzinha...

por Gabriel vitorio Sex 22 Out 2021, 13:53

Primeiro vamos calcular a inversa de f(x), ou seja g(x)..
Calculando a inversa:[latex]f\left ( x \right )=3x^{2}-6x\rightarrow y=3x^2-6x\rightarrow x=3y^2-6y[/latex] considerando o "x" como sendo o "c" da função de 2 grau..[latex]3y^2-6y-x=0[/latex]
Calculando o delta, acharemos [latex]\Delta =4(9+3x)[/latex]
Ao tentarmos achar as raízes, chegamos a um impasse [latex]y_{1}^{2}=\frac{6\pm 2\sqrt{(9+3x)}}{6}\rightarrow y_{1}^{2}=\frac{3\pm \sqrt{(9+3x)}}{3}[/latex] agora surge uma dúvida, qual é o sinal que devo adotar ? Para isso basta aplicarmos um valor da imagem de f(x) que resulte no domínio da inversa e verificar qual sinal resolverá o questionamento.. fica mais claro com a demonstração.
[latex]f(3)=3.9-6.3\rightarrow f(3)=27-18\rightarrow f(3)=9[/latex] logo [latex]f^{-1}\left ( 9 \right )=3[/latex]
Agora vamos verificar..
[latex]f^{-1\left ( x \right )}=\frac{6\pm2 \sqrt{9+3.9}}{6}\rightarrow \frac{3\pm \sqrt{36}}{3}\rightarrow \frac{3\pm6 }{3}[/latex] logo, só pode possuir o sinal de +. A partir disso, provamos que:
[latex]f^{-1}\left ( x \right )=\frac{3+\sqrt{9+3x}}{3}[/latex]
Agora, como sabemos que [latex]f^{-1\left ( x \right )}=g\left ( x \right )[/latex] basta apenas calcular o módulo.
[latex]\left | g\left ( 6 \right )-g\left ( 3 \right ) \right |^{2}\rightarrow \left | \sqrt{3}-\sqrt{2} \right |^{2}\Rightarrow \left ( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right )^{2}[/latex] calculando o quadrado da diferença:
[latex]\left ( \sqrt{2} \right )^{2}-2.\sqrt{2.}\sqrt{3}+\left ( \sqrt{3} \right )^{2}\rightarrow 5-2.\sqrt{6}[/latex]
Se tiver alguma observação ou algo que eu tenha confundido, pode me alertar..

por felipeomestre123 Sex 22 Out 2021, 14:15

Que legal! Bem extensa! Vou trazer a minha resolução depois da minha bateria de estudos para que veja!

por felipeomestre123 Sex 22 Out 2021, 20:36

[latex]\\f(x)=3x^{2}-6x \\\\\therefore \frac{x}{3}=g^{2}-2g \\\\se\;(g-k)^{2}=g^{2}-2gk+k^{2} \\\\comparando:\cancel{-2g}k=\cancel{-2g}\Rightarrow k=1 \\\\se\;quisermos\;transformar\;g^{2}-2g\;em\;quadrado\;perfeito: \\\\1+\frac{x}{3}=g^{2}-2g+1=(g-1)^{2} \\\\\therefore \sqrt{\left (g-1 \right )^{2}}=\sqrt{\frac{x+3}{3}} \\\\como\;\sqrt{\left (g-1 \right )^{2}}=|g-1| \\\\como\;g\geq 1,\;temos\;que\;g-1=\sqrt{\frac{x+3}{3}} \\\\\Rightarrow g=\sqrt{\frac{x+3}{3}}+1 \\\\fazendo\;\left |\left ( \sqrt{\frac{6+3}{3}}+1 \right )-\left ( \sqrt{\frac{3+3}{3}}+1 \right ) \right |^{2}={\left | \left (\sqrt{3} +1 \right )-\left ( \sqrt{2}+1 \right ) \right |}^{2} \\\\\;\;=\left | \sqrt{3}-\sqrt{2} \right |^{2}=\left ( \sqrt{3}-\sqrt{2}\right )^{2}=3-2\sqrt{6}+2=5-2\sqrt{6} [/latex]

por eduardodudu101 Sex 22 Out 2021, 23:59

Dada a simetria de f(x) com a sua inversa em relação à função identidade,temos o seguinte cenário:

Para dado g(6),tem-se f(x) = 6,analogamente para g(3).

Cálculo de g(3):

[latex]f(x) = 6[/latex]

[latex]3x^^{2} - 6x = 6[/latex]

[latex]x = 1 \pm \sqrt3[/latex]

Portanto:

[latex]g(6) = 1 \pm \sqrt3[/latex]

Dado o intervalo definido para o contradomínio de g(x),temos somente uma possibilidade:

[latex]g(6) = 1 + \sqrt3[/latex]

Cálculo de g(3):

[latex]f(x) = 3[/latex]

[latex]3x^^{2} - 6x = 3[/latex]

[latex]x = 1 + \sqrt2[/latex]

[latex]\left | g(6) - g(3) \right |^^{2} = (\sqrt3 - \sqrt2)^^{2} = 5 - 2\sqrt6[/latex]