Álgebra
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Álgebra
por PAPABLO Dom 12 Set 2021, 13:16
Se x, y e z são números reais e positivos, x + 2/x = 2y, y +2/y = 2z e z +2/z = 2x, determine o valor mínimo de (x+y+z)² :
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
a) 15
b) 16
c) 17
d) 18
e) 19
PAPABLO- Iniciante
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Re: Álgebra
por Elcioschin Dom 12 Set 2021, 13:37
Um possível caminho
x + 2/x = 2.y ---> x² + 2 = 2.x.y ---> I
y + 2/y = 2.z ---> y² + 2 = 2.y.z ---> II
z + 1/z = 2.x ---> z² + 2 = 2.x.z ---> III
-----------------------------------------------
I + II + III ---> x² + y² + z² + 8 = 2.(x.y + y.z + x.z) ---> IV
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2.(x.y + y.z + x.z) ---> V
x + 2/x = 2.y ---> x² + 2 = 2.x.y ---> I
y + 2/y = 2.z ---> y² + 2 = 2.y.z ---> II
z + 1/z = 2.x ---> z² + 2 = 2.x.z ---> III
-----------------------------------------------
I + II + III ---> x² + y² + z² + 8 = 2.(x.y + y.z + x.z) ---> IV
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2.(x.y + y.z + x.z) ---> V
Elcioschin- Grande Mestre
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