Triângulo retângulo - Apostila de cursinho
4 participantes
Página 1 de 1
Triângulo retângulo - Apostila de cursinho
ABCD é um quadrado cujo lado mede 15m e P é um ponto externo a esse quadrado que dista 9m do vértice C 12m do vértice B. A reta AP intercepta o lado BC em E. Calcular o segmento AE.
Resposta: AE = 16,342m
Resposta: AE = 16,342m
leonbr59- Iniciante
- Mensagens : 49
Data de inscrição : 27/01/2016
Idade : 69
Localização : Barra do Piraí
Re: Triângulo retângulo - Apostila de cursinho
Provavelmente tem um jeito mais fácil, mas eu fiz assim:
Fazendo D ser (0,0), A ser (0,15), B(15,15),C(15,0) e P(x_i,y_i).
Temos o seguinte sistema para as coordenadas de P:
[latex]\begin{cases} 12^2 = (15-x_i)^2+(15-y_i)^2\\~\\ 9^2 = (15-x_i)^2 +(0-y_i)^2 \end{cases}[/latex]
Resolvendo o sistema:
[latex]\begin{align*} 12^2 &= 9^2 - y_i^2+(15-y_i)^2\\~\\ 144 &= 81+225-30y_i+y_i^2-y_i^2 \\~\\ 162 &= 30y_i\\~\\ y_i &= 5.4 \end{align*}[/latex]
[latex]\begin{align*} 9^2 = (15-x_i)^2 +(0-y_i)^2 \\~\\ 81 = 225-30x_i+x_i^2 +y_i^2\\~\\ 0 = x_i^2-30x_i+173,16\end{align*}[/latex]
Como queremos a maior raiz, temos que [latex]x_i = \dfrac{111}{5} = 22.2[/latex]. Achando a reta que passa pelo ponto A e pelo ponto E:
[latex]m = \dfrac{5.4-15}{22.2-0} = -\dfrac{16}{37}[/latex]
[latex]y = m\cdot(x-x_1)+y_1 \implies y = \dfrac{16}{37}\cdot(0 -x)+15\implies y = 15-\dfrac{16x}{37}[/latex]
O ponto E é o ponto da reta onde x=15:
[latex]y_e = 15-\dfrac{16\cdot15}{37}[/latex]
Agora a ditância entre o ponto A até o E é dada por:
[latex]\begin{align*} D_{A,E} &= \sqrt{\left(15-\dfrac{16\cdot15}{37} -15\right)^2 +\left(15-0 \right )^2}\\~\\ &= \sqrt{\dfrac{16^2\cdot15^2}{37^2} +15^2}\\~\\ &= \sqrt{15^2\cdot\left(\dfrac{16^2+37^2}{37^2} \right )} \end{align*}[/latex]
Dá aproximadamente 16.34241.
Fazendo D ser (0,0), A ser (0,15), B(15,15),C(15,0) e P(x_i,y_i).
Temos o seguinte sistema para as coordenadas de P:
[latex]\begin{cases} 12^2 = (15-x_i)^2+(15-y_i)^2\\~\\ 9^2 = (15-x_i)^2 +(0-y_i)^2 \end{cases}[/latex]
Resolvendo o sistema:
[latex]\begin{align*} 12^2 &= 9^2 - y_i^2+(15-y_i)^2\\~\\ 144 &= 81+225-30y_i+y_i^2-y_i^2 \\~\\ 162 &= 30y_i\\~\\ y_i &= 5.4 \end{align*}[/latex]
[latex]\begin{align*} 9^2 = (15-x_i)^2 +(0-y_i)^2 \\~\\ 81 = 225-30x_i+x_i^2 +y_i^2\\~\\ 0 = x_i^2-30x_i+173,16\end{align*}[/latex]
Como queremos a maior raiz, temos que [latex]x_i = \dfrac{111}{5} = 22.2[/latex]. Achando a reta que passa pelo ponto A e pelo ponto E:
[latex]m = \dfrac{5.4-15}{22.2-0} = -\dfrac{16}{37}[/latex]
[latex]y = m\cdot(x-x_1)+y_1 \implies y = \dfrac{16}{37}\cdot(0 -x)+15\implies y = 15-\dfrac{16x}{37}[/latex]
O ponto E é o ponto da reta onde x=15:
[latex]y_e = 15-\dfrac{16\cdot15}{37}[/latex]
Agora a ditância entre o ponto A até o E é dada por:
[latex]\begin{align*} D_{A,E} &= \sqrt{\left(15-\dfrac{16\cdot15}{37} -15\right)^2 +\left(15-0 \right )^2}\\~\\ &= \sqrt{\dfrac{16^2\cdot15^2}{37^2} +15^2}\\~\\ &= \sqrt{15^2\cdot\left(\dfrac{16^2+37^2}{37^2} \right )} \end{align*}[/latex]
Dá aproximadamente 16.34241.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71690
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Medeiros- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 10397
Data de inscrição : 01/09/2009
Idade : 72
Localização : Santos, SP, BR
Tópicos semelhantes
» (Fatec-SP) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo e isósceles e o retângulo
» Triângulo, questão de apostila IME / ITA
» retangulo inscrito no triangulo retangulo
» Triângulo Retângulo
» triângulo equilátero no triângulo retângulo
» Triângulo, questão de apostila IME / ITA
» retangulo inscrito no triangulo retangulo
» Triângulo Retângulo
» triângulo equilátero no triângulo retângulo
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|