Triângulo V

por **petras** Ter 27 Jul 2021, 09:34

Os lados de um triângulo escaleno medem 13, 14 e 15 unidades. Se traçam duas bissetrizes exteriores de ângulos diferentes e do terceiro vértice traçam-se perpendiculares a estas bissetrizes. Calcular o tamanho do segmento que une o pé dessas perpendiculares.

Solução: :

por **Elcioschin** Ter 27 Jul 2021, 11:12

Uma figura para ajudar
Use Pitágoras e Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.

por **petras** Qua 28 Jul 2021, 15:53

Elcioschin escreveu:Uma figura para ajudar
Use Pitágoras e Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.

Encontrei uma forma mais simples:

por **Medeiros** Sex 30 Jul 2021, 02:41

Petras
onde ficam os pontos K, L e M?

por **Elcioschin** Sex 30 Jul 2021, 11:12

Imagino que sejam:

K = interseção de BC com AD
L = interseção de HI com AD
M = interseção de HI com AB

Para fazer a semelhança é necessário provar que HI é paralelo a BC

por **Medeiros** Dom 01 Ago 2021, 18:21

obrigado, Élcio.

e, para a semelhança, além de provar o paralelismo ainda deve provar que M é ponto médio de AB.

por **petras** Sáb 30 Abr 2022, 11:10

Medeiros escreveu:obrigado, Élcio.

e, para a semelhança, além de provar o paralelismo ainda deve provar que M é ponto médio de AB.

Complementando:

[latex] \angle ADB = 180^0 - \angle BAD - \angle ABD\\ \angle ABD = \angle B + \frac{180^0 - \angle B}{2} = 90^0 + \frac{\angle B}{2}\\ \angle BAD = \frac{\angle A}{2}\\ \therefore \angle ADB = \underbrace{90^0-\frac{\angle B}{2}-\frac{\angle A}{2}}=\frac{\angle C}{2}\\ (\frac{\angle A + \angle B + \angle C}{2} = 90^0 \implies \underbrace{90^0 - \frac{\angle A + \angle B}{2}} = \frac{\angle C}{2})\\ De~maneira~analoga~:\angle ADC = \frac{\angle B}{2}\\ AIDH~ ciclico\rightarrow \angle AHI=\angle ADC=\frac{\angle B}{2}\\ \angle BAH = \cfrac{\angle B}{2} = \angle AHI \therefore ~M~ e~ponto~ medio~ de~ AB\\ De~forma~analoga ~N~ e~ponto~ medio~ de~ AC\\ HI=HM+MN+NI \rightarrow AM + \cfrac{BC}{2} + AN = 6.5 + 7 + 7.5 \therefore \boxed{\color{red}x=21}[/latex]

*Por semelhança:
[latex]\angle BKA=180-\theta-\angle B\\ \angle HLA=180 -\frac{\angle B}{2}-\frac{\angle B}{2}-\theta = 180-\angle B-\theta\\ \therefore BC \parallel HI \implies \triangle BKA \sim \triangle MLA\\ Razao~de~semelhanca~\triangle ABK~e~\triangle AML: \frac{6,5}{13}=\frac{1}{2}\implies AM=\frac{AB}{2}[/latex]

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