áreas dos triângulos

Seja L o lado do quadrado ----> S = L²

Sejam M e N os pontos de contato de PA e PD respectivamente com BC.

Como o ponto P é qualquer, vou escolher P tal que PB = PC = BC = L (Triângulo PBC é equilátero com altura H).

Consideremos um sistema cartesiando tendo A(0, 0) por origem AD sobre eixo X e AB sobre eixo Y.

Coordenadas ----> B(0, L), C(L, L), D(L, 0), P[L/2, L*(V3 + 1)/2], M(xM , L), N(xN, L)

H = L*V3/2

Coeficiente angular da reta PA ----> m = (L+ H)/(L/2) ----> m = (L + LV3/2)/(L/2) ----> m = V3 + 2

y - yA = m*(x - xA) ----> y - 0 = (V3 + 2)*(x - 0) ----> y = (V3 + 2)*x

yM = L ----> L = (V3 + 2)*xM -----> xM = L/(V3 + 2) ----> xM = L*(2 - V3)

xM é a base dos triângulos BMP e BMA ----> BM = L*(2 - V3)

S1 = SBMP + SBMA ----> S1 = BM*H/2 + BM*AB/2 ----> S1 = (BM/2)*(H + L)

S1 = [L*(2 - V3)/2]*(L*V3/2 + L) ----> S1 = L²*(2 - V3)*(2 + V3)/4 ----> S1 = L²/4

S3 = S1

S2 = BC*H/2 ----> S2 = L*(L*V3/2)/2 ----> S2 = L²*V3/4

S4 = AD*(L + H)/2 ----> S4 = L*(L + L*V3/2)/2 ----> S4 = L²*(2 + V3)/4

S1 + S3 = 2*(L²/4) ----> S1 + S3 = L²/2

S4 - S2 = L²*(2 + V3)/4 - L²*V3/4 ----> S4 - S2 = L²/2

Logo ----> S1 + S3 = S4 - S2 = S/2