Equação Irracional

SilverBladeII escreveu:Se vc tiver qqr duvida, pergunta aê.

[latex]
\begin{align*}
\frac{2+x}{\sqrt{2}+\sqrt{2+x}}+\frac{2-x}{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}} &\overset{x\neq 0}{=} \frac{2+x}{\sqrt{2}+\sqrt{2+x}}\cdot\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{2+x}}{-\sqrt{2}+\sqrt{2+x}}+\frac{2-x}{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}}\cdot\frac{\sqrt{2}-\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-x}}\\
&=\frac{2\sqrt{2+x}+x\sqrt{2+x}-2\sqrt{2-x}+x\sqrt{2-x}-2x\sqrt{2}}{x}\\
&=\frac{(2+x)^{3/2}-(2-x)^{3/2}-2x\sqrt{2}}{x}\\
&=\sqrt{2}
\implies (2+x)^{3/2}-(2-x)^{3/2} &= 3\sqrt{2}x 
\end{align*}
[/latex]

Dado que 0 é raiz da equação origina, qualquer raiz da ultima equação é raiz da primeira, e vice-versa.
Tome 
[latex]f(x)=(2+x)^{3/2}-(2-x)^{3/2} -3\sqrt{2}x [/latex].
Então 
[latex]f'(x)=\frac{3}{2}\sqrt{2+x}+\frac{3}{2}\sqrt{2-x}-3\sqrt{2}[/latex]
Como [latex]\sqrt{2+x}, \sqrt{2-x}>0[/latex], podemos aplicar a desigualdade de Cauchy-Shwarz:
[latex]
\begin{align*}
&\sqrt{((\sqrt{2+x})^2+(\sqrt{2-x})^2)((3/2)^2+(3/2)^2)}\geq \frac{3}{2}\sqrt{2+x}+\frac{3}{2}\sqrt{2-x}\\
\implies & 3\sqrt{2}\geq \frac{3}{2}\sqrt{2+x}+\frac{3}{2}\sqrt{2-x}\\
\implies & f'(x)\leq 0
\end{align*}
[/latex]
com igualdade ocorrendo se, e só se x=0, ou seja, a função é estritamente decrescente. Como [latex]f(x)=0[/latex], se [latex] x < 0 [/latex] então [latex] f(x) > f(0) = 0 [/latex] e se [latex] x > 0 [/latex] então [latex] f(x) < f(0) < 0 [/latex]. Portanto a única raiz da função f é 0, de modo que a unica raiz da equação original é 0.
Assim, a=0²=0 e nenhuma das afirmativas está correta.

Nicolas Moreira escreveu:Essa questão ela é bem tranquila e necessita apenas de duas substituições inteligentes


Tomemos então as seguintes substituições:
[latex]C = \sqrt{2+x}[/latex]

[latex]B = \sqrt{2-x}[/latex]



Então a nossa equação ficará da seguinte forma:
[latex]\frac{c^{2}}{\sqrt{2}+c} + \frac{b^{2}}{\sqrt{2}-b} = \sqrt{2}[/latex]

Vamos multiplicar toda a equação pelo produto dos denominadores:
[latex]c^{2}(\sqrt{2}-b) + b^{2}(\sqrt{2}+c) = \sqrt{2}(\sqrt{2}-b)(\sqrt{2}+c)[/latex]

NÃO esqueça que nesse caso temos c² + b² = 4

fazendo pequenos ajustes a essa expressão chegamos em:

[latex]\sqrt{2}(c^{2}+b^{2}) + bc(b-c) = 2\sqrt{2} +2(c-b) -bc\sqrt{2} [/latex]

aplicando que c² + b² = 4 e fazendo outros ajustes à equação temos que:

[latex]4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2(c-b) + bc(c-b) - bc\sqrt{2}[/latex]

[latex]2\sqrt{2} + bc\sqrt{2} = (c-b)(bc+2)[/latex]

[latex]\sqrt{2}(bc+2) = (c-b)(bc+2)[/latex]

Já que bc é o produto de duas raízes , ele nunca dará (-2) e portanto podemos "corta-los"

[latex]c - b = \sqrt{2}[/latex]

Eleve a expressão ao quadrado

[latex]c^{2}+b^{2} -2bc = 2 [/latex]

[latex]4 - 2bc = 2 [/latex]

[latex]bc = 1 [/latex]

Agora volte com as substituições e aplique distributiva

[latex]\sqrt{4-x^{2}} = 1 [/latex]

[latex]x = \pm \sqrt{3} [/latex]

Nesse caso temos "a" = 3 , logo "a" é primo e o item correto é a letra E.

SilverBladeII escreveu:

Nicolas Moreira escreveu:Essa questão ela é bem tranquila e necessita apenas de duas substituições inteligentes


Tomemos então as seguintes substituições:
[latex]C = \sqrt{2+x}[/latex]

[latex]B = \sqrt{2-x}[/latex]



Então a nossa equação ficará da seguinte forma:
[latex]\frac{c^{2}}{\sqrt{2}+c} + \frac{b^{2}}{\sqrt{2}-b} = \sqrt{2}[/latex]

Vamos multiplicar toda a equação pelo produto dos denominadores:
[latex]c^{2}(\sqrt{2}-b) + b^{2}(\sqrt{2}+c) = \sqrt{2}(\sqrt{2}-b)(\sqrt{2}+c)[/latex]

NÃO esqueça que nesse caso temos c² + b² = 4

fazendo pequenos ajustes a essa expressão chegamos em:

[latex]\sqrt{2}(c^{2}+b^{2}) + bc(b-c) = 2\sqrt{2} +2(c-b) -bc\sqrt{2} [/latex]

aplicando que c² + b² = 4 e fazendo outros ajustes à equação temos que:

[latex]4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} + 2(c-b) + bc(c-b) - bc\sqrt{2}[/latex]

[latex]2\sqrt{2} + bc\sqrt{2} = (c-b)(bc+2)[/latex]

[latex]\sqrt{2}(bc+2) = (c-b)(bc+2)[/latex]

Já que bc é o produto de duas raízes , ele nunca dará (-2) e portanto podemos "corta-los"

[latex]c - b = \sqrt{2}[/latex]

Eleve a expressão ao quadrado

[latex]c^{2}+b^{2} -2bc = 2 [/latex]

[latex]4 - 2bc = 2 [/latex]

[latex]bc = 1 [/latex]

Agora volte com as substituições e aplique distributiva

[latex]\sqrt{4-x^{2}} = 1 [/latex]

[latex]x = \pm \sqrt{3} [/latex]

Nesse caso temos "a" = 3 , logo "a" é primo e o item correto é a letra E.

Por um momento eu fiquei realmente confuso com a resposta huhauahuahuha
mas tem um errinho pequenininho, que a substituição correta é
c²/(√2+c)+b²/(√2+b)=√2

tentei resolver aqui usando sua técnica e saiu, só no final precisa tomar cuidado pq 2-bc pode ser 0 (caso x=0, que é a raiz, de fato), e aí tem que abrir em casos.
boa sol