Regras de Seno e Coseno

por mocs76 Qua 07 Abr 2021, 13:11

Este e um exercício de um site de matemática. Abaixo estão as soluções.

No triângulo DEF, ED = 5cm e EF = 6cm ;
Dado que o sin (∠DEF) = 2/3 e ∠DEF é agudo:
(a) Encontre o valor exato de cos (∠DEF)
(b) Encontre o comprimento de DF.
(c) Encontre ∠EFD

Não entendo em a) porque ele usa aquele triangulo retângulo.

Obrigado

por **Elcioschin** Qua 07 Abr 2021, 13:56

?????

por mocs76 Qua 07 Abr 2021, 14:07

Elcioschin escreveu:?????

Nao me estava a deixar postar o enunciado completo, nem a foto. Agora sim. Obrigado.

por **Elcioschin** Qua 07 Abr 2021, 18:09

Não é necessário usar o triângulo retângulo; basta lembrar que:

sen²θ + cos²θ = 1 --> (2/3)² + cos²θ = 1 --> 4/9 + cos²θ = 1 ---> cos²θ = 5/9 ---> cosθ = √5/3

por mocs76 Qua 07 Abr 2021, 18:30

Elcioschin escreveu:Não é necessário usar o triângulo retângulo; basta lembrar que:

sen²θ + cos²θ = 1 --> (2/3)² + cos²θ = 1 --> 4/9 + cos²θ = 1 ---> cos²θ = 5/9 ---> cosθ = √5/3

Obrigado Elcioshin. Este exercício e para o meu filho. Fui pesquisar, porque ele não viu as identidades trigonométricas na escola, e entendemos a sua explicacao. E mais fácil conhecendo as identidades trigonométricas, porque basta montar a equação.
Mas, dentro da explicação que esta na resposta da fotografia, poderia me elucidar sobre a logica da utilização do triangulo retângulo, por favor. E que nos olhamos para os dois triângulos que estão na resolução e não estamos a ver a relação de um com o outro. Muito obrigado.

por marcelindo3301 Qua 07 Abr 2021, 19:06

É que em um triângulo retângulo é verdade as seguintes relações:

Como no enunciado é dito que sen(a) = 2/3 ele criou um triângulo retângulo com cateto oposto igual a 2 e hipotenusa igual a 3 e descobriu o outro cateto por Pitágoras. O valor do cosseno do ângulo é dado pela razão entre esse outro cateto pela hipotenusa, como é mostrado na imagem acima.

por mocs76 Qua 07 Abr 2021, 19:14

marcelindo3301 escreveu:É que em um triângulo retângulo é verdade as seguintes relações:

Como no enunciado é dito que sen(a) = 2/3 ele criou um triângulo retângulo com cateto oposto igual a 2 e hipotenusa igual a 3 e descobriu o outro cateto por Pitágoras. O valor do cosseno do ângulo é dado pela razão entre esse outro cateto pela hipotenusa, como é mostrado na imagem acima.

Basicamente, e algo que eu estava aconselhando ao meu filho: Esquecer o desenho do triangulo e focar-se na informacao do enunciado. Ou seja, se eu tenho os valores do lado oposto e da hipotenusa que me sao dados pelo sen=2/3, e sei que tenho que achar o cosseno, tendo que para isso encontrar o cateto adjacente, uso pitagoras para esse efeito e a partir daqui ja tenho A e H para achar o cosseno. Certo?
Obrigado.

por **Elcioschin** Qua 07 Abr 2021, 19:23

Neste caso devemos usar apenas a trigonometria básica, pois ele não estudou o assunto posterior:

senα = (cateto oposto ao ângulo)/hipotenusa
cosα = (cateto adjacente ao ângulo)/hipotenusa

A equação sen²x + cos²x = 1 é o próprio Teorema de Pitágoras em que a hipotenusa vale 1

Na nossa questão vamos fazer a hipotenusa: a = 3

senα = c/a --> senα = 2/3 ---> cateto oposto c = 2 e hipotenusa a = 3

Deseja-se calcular o outro cateto b ---> b² + c² = a² ---> b² + 2² = 3² ---> b² = 5 ---> b = √5

cosα = b/a ---> cosα = √5/3