Demonstrar

por Luís Yanky 24/11/2020, 11:35 am

Demonstrar que é retângulo todo triângulo no qual o raio de um círculo ex-inscrito é igual a soma dos raios dos outros dois ex-inscritos com o raio do inscrito.

por **SilverBladeII** 6/2/2021, 12:03 am

Sejam [latex]AB=m+n[/latex], [latex]AC=m+p[/latex] e [latex]BC=n+p[/latex], como indicado na figura, [latex]\Gamma(I, r)[/latex] a circunferência inscrita, [latex]\Gamma_1(I_1, r_1)[/latex], [latex]\Gamma_2(I_2, r_2)[/latex] e [latex]\Gamma_3(I_3, r_3)[/latex] as circunferências ex-inscritas relativas aos vértices [latex]A,\ B,\text{ e } C[/latex], respectivamente, com [latex]r_1=r+r_2+r_3[/latex].

Só precisamos provar que [latex]AB^2+AC^2=BC^2[/latex] e o resultado segue da recíproca do teorema de Pitágoras. Mas

[latex]\begin{align*}&AB^2+AC^2=BC^2\\\iff&(m+n)^2+(m+p)^2=(n+p)^2\\\iff&m^2+mn+mp=np\\\iff&m(m+n+p)=np,\end{align*}[/latex]

de forma que a última igualdade é suficiente.

Para [latex]\Gamma_1[/latex], observe que [latex]\Delta AIQ\sim \Delta AI_1Q' \[/latex], de forma que [latex]r_1/(m+n+p)=r/m[/latex] e então [latex]r_1=r(m+n+p)/m[/latex]. Analogamente, [latex]r_2=r(m+n+p)/n[/latex] e [latex]r_3=r(m+n+p)/p[/latex]. Assim,

[latex]\begin{algin*}&r_1=r+r_2+r_3\\\implies&r\frac{m+n+p}{m}=r+r\frac{m+n+p}{n}+r\frac{m+n+p}{p}\\\implies&\frac{m+n+p}{m}-1=(m+n+p)\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{p}\right)\\\implies&\frac{n+p}{m}=(m+n+p)\frac{n+p}{np}\\\implies&m(m+n+p)=np,\end{align*}[/latex]

que é o que queríamos.