demonstrar

por puiff Sáb 24 Nov 2012, 10:42

Demonstrar que a sentença aberta sen²(45°+x)-sen²(30°-x)-sen15°.cos(15°+2x) é igual a sen2x.

por Luck Sáb 24 Nov 2012, 16:22

Olá puiff,
y = sen²(45°+x)-sen²(30°-x)-sen15°.cos(15°+2x)
multiplicando tudo por 2:
2y = 2sen²(45+x) - 2sen²(30-x) - 2sen15.cos(15+2x)
somando 1 e subtraindo 1 na expressão para aparecer arco duplo:
2y = 2sen²(45+x) - 1 - 2sen²(30-x) + 1 - 2sen15cos(15+2x)
2y = -(1-sen²(45+x) ) + (1 - 2sen²(30-x) ) - 2sen15.cos(15+2x)
2y = -cos(90+2x) + cos(60 - 2x) - 2sen15cos(15+2x)
transformação de soma em produto no cosseno:
2y = 2sen(75).sen(15+2x) - 2sen15.cos(15+2x)
2y =2( sen(15+2x)cos15 - sen15cos(15+2x) )
2y = 2sen(2x)
y = sen2x

por **Robson Jr.** Sáb 24 Nov 2012, 17:11

Outra solução:

Podemos abrir as duas parcelas primeiras parcelas da expressão em uma diferença de quadrados:

$\small \left ( sen(45+x)+sen(30-x) \right )(sen(45+x)-sen(30-x))\\$

Transformando soma em produto:

$\small \left ( 2sen\left ( \frac{75}{2} \right )cos\left ( x+\frac{15}{2} \right ) \right )\left ( 2sen\left ( x+\frac{15}{2} \right ) cos\left ( \frac{75}{2} \right ) \right ) = sen(75).sen\left ( 2x+15 \right )$

Usando que sen(75) = cos(15) e substituindo na expressão do enunciado, temos uma identidade conhecida:

$\small sen(2x+15)cos(15)-sen(15)cos(2x+15)=sen((2x+15)-15)={\color{Red} sen(2x)}$

por puiff Seg 26 Nov 2012, 14:50

Obrigada Luck e Robson Jr. pelas resoluções

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