Conjunto solução da inequação.

Dada a função  f (x) = 3 + 2^x-1
O conjunto solução da inequação f(2x + 1) < 1 + 3 . 2^x.

resposta: é o intervalo ]0, 1[
     

 gostaria de saber a resolução, desde já agradeço

Faltam informações no enunciado. Por exemplo quem é f(x) ?

superaks escreveu:Faltam informações no enunciado. Por exemplo quem é f(x) ?

olá,  já foi editado, obrigado!!

Nessa parte: f(x) = 3 + 2^x - 1, esse - 1 ta sendo subtraido do expoente ? Se sim, associe entre parenteses dessa forma:

f(x) = 3 + 2^(x - 1)

Porque da forma que tá aquele - 1 subtrai o 3 + 2^x e não o expoente x

Resovlendo


Em f(x) troque o x por 2x + 1

f(2x + 1) = 3 + 2^(2x + 1 - 1)

f(2x + 1) = 3 + 2^(2x)


Jogando na inequação

f(2x + 1) < 1 + 3 . 2^x

3 + 2^(2x) < 1 + 3 . 2^x

2^(2x) - 3 . 2^x + 2 < 0

(2^x)^2 - 3 . 2^x + 2 < 0

Subistitua 2^x por y

y² - 3y + 2 < 0


A ideia é escrever a expressão do lado esquerdo na sua forma fatorada, pra isso precisamos encontrar as raízes

Você pode fazer isso por Bhaskara por exemplo, mas vou fazer pelo método de completar quadrados


y² - 3y + 2 = y² - y - 2y + 2

y² - 3y + 2 = y(y - 1) - 2(y - 1)

y² - 3y + 2 = (y - 1)(y - 2)

Então temos que:

(y - 1)(y - 2) < 0


Fazendo o varal

y - 1                 - - - - - - -  0 - - - - - -  1 + + + + + +  2 + + + + + + 
y - 2                 - - - - - - -  0 - - - - - -  1 - - - - - - - - - 2 + + + + + + 


(y - 1)(y - 2)     + + + + +  0 + + +  + 1 - - - - - - - -   2 + + + + + + 




Portanto temos que 1 < y < 2

Mas queremos saber onde está o intervalo de x

y = 2^x

1 < 2^x < 2

2^0 < 2^x < 2^1

0 < x < 1


S = ]0, 1[

superaks escreveu:Nessa parte: f(x) = 3 + 2^x - 1, esse - 1 ta sendo subtraido do expoente ? Se sim, associe entre parenteses dessa forma:

f(x) = 3 + 2^(x - 1)

Porque da forma que tá aquele - 1 subtrai o 3 + 2^x e não o expoente x

Resovlendo


Em f(x) troque o x por 2x + 1

f(2x + 1) = 3 + 2^(2x + 1 - 1)

f(2x + 1) = 3 + 2^(2x)


Jogando na inequação

f(2x + 1) < 1 + 3 . 2^x

3 + 2^(2x) < 1 + 3 . 2^x

2^(2x) - 3 . 2^x + 2 < 0

(2^x)^2 - 3 . 2^x + 2 < 0

Subistitua 2^x por y

y² - 3y + 2 < 0


A ideia é escrever a expressão do lado esquerdo na sua forma fatorada, pra isso precisamos encontrar as raízes

Você pode fazer isso por Bhaskara por exemplo, mas vou fazer pelo método de completar quadrados


y² - 3y + 2 = y² - y - 2y + 2

y² - 3y + 2 = y(y - 1) - 2(y - 1)

y² - 3y + 2 = (y - 1)(y - 2)

Então temos que:

(y - 1)(y - 2) < 0


Fazendo o varal

y - 1                 - - - - - - -  0 - - - - - -  1 + + + + + +  2 + + + + + + 
y - 2                 - - - - - - -  0 - - - - - -  1 - - - - - - - - - 2 + + + + + + 


(y - 1)(y - 2)     + + + + +  0 + + +  + 1 - - - - - - - -   2 + + + + + + 




Portanto temos que 1 < y < 2

Mas queremos saber onde está o intervalo de x

y = 2^x

1 < 2^x < 2

2^0 < 2^x < 2^1

0 < x < 1


S = ]0, 1[

ficou clara a explicação, vi meu erro, estava esquecendo de voltar na mudança da variável 2^x=y, agradeço a paciência.