Conjunto solução da inequação

por wesley mairciel dias Sáb 04 Abr 2015, 01:17

O conjunto solução da inequação (log (x^2+x) na base 1/2) >-1, é dado por :

a) -3 < ou igual x < ou igual -2 ou 0 < x <2.
b) 1 < x < 2 ou 3 < x < ou igual 4.
c) -3 < ou igual x < ou igual -2 ou 1 < x < 2.
d) -2 < x < -1 ou 0 < x < 1.
e) -1 < x < 1 ou 2 < x < 3 .

alguém pode me ajudar???

por **Carlos Adir** Sáb 04 Abr 2015, 11:12

$\\ log_{1/2}(x^2+x)>-1 \Rightarrow \dfrac{log(x^2+x)}{log\left(\frac{1}{2} \right )}>-1 \Rightarrow \dfrac{log(x^2+x)}{log \ 1 - log \ 2}+1>0 \Rightarrow \\ \Rightarrow \dfrac{log(x^2+x)-log \ 2}{- log \ 2} >0 \Rightarrow \dfrac{log(x^2+x)-log \ 2}{log \ 2}<0 \Rightarrow \\ \Rightarrow log(x^2+x)-log \ 2 < 0 \Rightarrow log \left(\dfrac{x^2+x}{2} \right )<0 \Rightarrow \\ \Rightarrow \dfrac{x^2+x}{2} < 1 \Rightarrow x^2+x-2 < 0 \Rightarrow \left(x + \dfrac{1}{2} \right )^2 <\dfrac{9}{4} \Rightarrow \\ \Rightarrow \left|x+\dfrac{1}{2} \right|< \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{-3}{2} < x + \dfrac{1}{2} < \dfrac{3}{2} \Rightarrow -2 < x < 1$
Ou seja:
$\\ log_{1/2}(x^2+x)>-1 \Leftrightarrow -2 < x < 1$

Mas temos a condição de existencia, isto é, o valor dentro de log não pode ser 0 e nem negativo:
$x^2 + x > 0 \Rightarrow x(x+1) > 0 \Rightarrow x \notin [-1, \ 0]$

Portanto, a resposta é:

$-2 < x < -1 \ \ \ ou \ \ \ 0 < x < 1$

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