Prove - MMC e MDC
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Prove - MMC e MDC
por Valdeteferreira Qui 24 Set 2020, 19:42
O mínimo múltiplo comum de a e b é o menor inteiro positivo que é múltiplo de a e que é múltiplo de b. Vamos denotar esse número por mmc(a, b). Prove as seguintes afirmações.
a. mmc(a, b) · mdc(a, b) = ab. Dica: mostre separadamente que mmc(a, b) · mdc(a, b) ≥ a · b e mmc(a, b) · mdc(a, b) ≤ a · b. Lembre-se: mdc(a, b) é definido como o máximo . . ., o que nos dá uma estratégia para concluirmos que mdc(a, b) é maior ou igual a um dado inteiro; analogamente, mmc(a, b) é definido como o mínimo . . ., o que nos dá uma estratégia para concluirmos que mmc(a, b) é menor ou igual a um dado inteiro. Em uma dessas provas, utilize o item c abaixo (você pode usá-lo mesmo se não conseguir prová-lo).
b. mmc(a, b) = ab sse mdc(a, b) = 1.
c. Para qualquer natural m, temos (a | m e b | m) sse mmc(a, b) | m. (Dica: para a direção “⇒”, imagine a divisão euclidiana de m por mmc(a, b). O que de impossível teria que acontecer se o resto dessa divisão não fosse 0?)
a. mmc(a, b) · mdc(a, b) = ab. Dica: mostre separadamente que mmc(a, b) · mdc(a, b) ≥ a · b e mmc(a, b) · mdc(a, b) ≤ a · b. Lembre-se: mdc(a, b) é definido como o máximo . . ., o que nos dá uma estratégia para concluirmos que mdc(a, b) é maior ou igual a um dado inteiro; analogamente, mmc(a, b) é definido como o mínimo . . ., o que nos dá uma estratégia para concluirmos que mmc(a, b) é menor ou igual a um dado inteiro. Em uma dessas provas, utilize o item c abaixo (você pode usá-lo mesmo se não conseguir prová-lo).
b. mmc(a, b) = ab sse mdc(a, b) = 1.
c. Para qualquer natural m, temos (a | m e b | m) sse mmc(a, b) | m. (Dica: para a direção “⇒”, imagine a divisão euclidiana de m por mmc(a, b). O que de impossível teria que acontecer se o resto dessa divisão não fosse 0?)
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