Prove que:

por donkey94 Seg 15 Jul 2013, 23:10

Prove que:
$2^{5n+3}+5^{n}\cdot 3^{n+2}\vdots 17$

Tentei aplicar indução, mas não está dando certo...

por Luck Ter 16 Jul 2013, 01:21

Por indução, para n= 0:
2³ + (5^0).3² = 17 | 17 ok
supondo válido para n: 2^(5n+3) + (5^n).3^(n+2) | 17 (I)
n->n+1
2^[5(n+1)+3] + 5^(n+1) . 3^(n+3) | 17 (tese)
(2^(5n+3)).2^5 + (5^n).(5).(3^(n+2)).3
(2^(5n+3)). 32 + (5^n).(3^(n+2)).15
(2^(5n+3))(15 +17) + (5^n)(3^(n+2)).15
17.2^(5n+3) + 15.2^(5n+3) + 15 (5^n)(3^(n+2))
17.2^(5n+3) + 15(2^(5n+3) + (5^n).3^(n+2) )
17.2^(5n+3) | 17
pela hipótese (I)|17 entao 15(2^(5n+3) + 3^(n+2) | 17
logo 2^[5(n+1)+3] + 5^(n+1) . 3^(n+3) | 17 , c.q.d

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