Questão de Análise Combinatória

por Ceruko Sex 18 Set 2020, 10:26

Um pintor, dispondo de 5 cores diferentes de tintas, pretende misturar 3 delas, em quantidades iguais, para obter uma nova cor. O número de novas cores obtidas por esse pintor será:

a) 20
b)10
c)5
d)30
e) 60

por **Emanuel Dias** Sex 18 Set 2020, 10:42

Não há nenhum tipo de restrição, então podemos misturar qualquer 3 cores.

Devemos escolher 3 das 5 cores, isso pode ser feito de C5,3 maneiras.

C5,3=5!/3!2!=10 maneiras.

Um raciocínio fugindo das fórmulas:

Devemos formar um grupo de 3 cores das 5, isto é, devemos preencher 3 baldes com tintas -- -- --.

Isso pode ser feito de 5*4*3 modos?

Não, nesse caso contamos combinações repetidas, abc=cba, e assim por diante, devemos descontar as permutações dessas 3 cores.

Então, 5*4*3/3!=5*4*3/6=10 combinações.

Isso é basicamente a dedução da fórmula de combinações.

por Ceruko Sex 18 Set 2020, 10:47

Cara, foi exatamente o que eu pensei! Quando fui ajudar minha namorada nesse exercício, fiz juntamente a Combinação de 5 e 3, dando resultado 10. Porém o gabarito da questão na escola dela está 60. Deve haver algum engano!

por **Emanuel Dias** Sex 18 Set 2020, 11:44

Ceruko escreveu:Cara, foi exatamente o que eu pensei! Quando fui ajudar minha namorada nesse exercício, fiz juntamente a Combinação de 5 e 3, dando resultado 10. Porém o gabarito da questão na escola dela está 60. Deve haver algum engano!

Estranho, eu acredito que o gabarito esteja errado, vamos esperar para ver se alguém concorda ou resolve corretamente.

por **Eduardo Rabelo** Sex 18 Set 2020, 13:57

Imaginando que ele tenha 5 potes de tinta e pondo-se no lugar dele (resolvi tendendo ao gabarito):

Na 1ª vez ele terá 5 potes para escolher. Na 2ª vez terá 4 possibilidades de cor e na 3ª, 3 possibilidades de cor. Fazendo o produto:

5.4.3=60

Será que é isso?

Eduardo Rabelo

18.09.2020 13:55:49

por **Emanuel Dias** Sex 18 Set 2020, 14:18

Eduardo RabeloITA escreveu:Imaginando que ele tenha 5 potes de tinta e pondo-se no lugar dele (resolvi tendendo ao gabarito):

Na 1ª vez ele terá 5 potes para escolher. Na 2ª vez terá 4 possibilidades de cor e na 3ª, 3 possibilidades de cor. Fazendo o produto:

5.4.3=60

Será que é isso?

Eduardo Rabelo

18.09.2020 13:55:49

Na permutação a ordem não importa, é isso mesmo.

por Ceruko Sex 18 Set 2020, 15:23

Ela falou que verá com o professor. Não faz sentido a questão pedir nova cores possíveis e considerar, por exemplo,abc e cba como sendo coisas diferentes. Depois falo aqui o que rolou, obrigado!

por **Emanuel Dias** Sex 18 Set 2020, 15:40

O que o Eduardo fez foi permutar, nesse caso, conta-se casos como abc e cba, por quê?

Temos 5 possibilidades para primeira cor, suponhamos a, 4 para segunda, suponhamos b, e 3 para terceira, suponhamos c. Formamos a ordem abc.

Mas, se para primeira escolhermos b, para terceira a e para segunda c, formamos bca, que é a mesma coisa. Por isso não podemos considerar como permutação, e sim combinação, se fosse permutação, a ideia de combinação não seria útil.

Todos os casos:

abc
abd
abe
bcd
bad
cda
acd
ace
ade
dce

Se fizermos apenas 5*4*3

temos:

abc
abd
abe
ac
ac