Transformações Trigonométricas

por Beatrix Ferreira Qui 23 Jul 2020, 00:48

Boa Noite ! Preciso de ajuda com a seguinte questão;Dado sen x = π/4, com 0 < x < π/2, e x + y = π/3, determine sen y. Gabarito: 3√3-4/10

Não estou conseguindo chegar ao resultado. Se alguém puder me explicar, ficarei muito grata.

por Skyandee Qui 23 Jul 2020, 08:58

Tem certeza do enunciado?

por **Elcioschin** Qui 23 Jul 2020, 11:12

Se o enunciado estiver certo:

senx = pi/4 ---> sen²x = pi²/16 ---> 1 - cos²x = pi²/16 ---> cos²x = (16 - pi²)/16

x + y = pi/3 ---> cos(x + y) = cos(pi/3) ---> cosx.cosy - senx.seny = 1/2 --->

Elevando ao quadrado: cos²x.cos²y + sen²x.sen²y - 2.senx.cosx.seny.cosy = 1/4

cos²x.cos²y + sen²x.sen²y - senx.cosx.(2.seny.cosy) = 1/4 --->

cos²x.cos²y + sen²x.sen²y - senx.cosx.sen(2.y) = 1/4

Tente completar, lembrando que cos²y = 1 - sen²y

por Beatrix Ferreira Seg 27 Jul 2020, 20:30

Esse é o enunciado.

por Skyandee Ter 28 Jul 2020, 07:38

Dando continuidade ao raciocínio do colega Elcio:

[latex]\\\sin^2x+\cos^2x = 1 \Rightarrow \frac{\pi^2}{16}+\cos^2x = 1 \Rightarrow \cos^2 x =\frac{16-\pi^2}{16}\\\\\\\\\cos\left ( x + y \right ) = \cos \left ( \frac{\pi}{3} \right )= \cos x \cdot \cos y - \sin x \cdot \sin y = \frac{1}{2}\\\\\\\\\cos^2x\cdot\cos^2y+\sin^2x\cdot\sin^2y-2\cdot\sin x \cdot\cos x \cdot\sin y \cdot\cos y = \frac{1}{4}\\\\\\\\\cos^2x\cdot(1-\sin^2y)+\sin^2x\cdot\sin^2y-\sin x \cdot\cos x \cdot\sin 2y= \frac{1}{4}\\\\\\\\\frac{16-\pi^2}{16} (1-\sin^2y)+\frac{\pi^2}{16}\cdot \sin^2y-\left ( \frac{\pi}{4} \right )\cdot\left (\frac{\sqrt{16-\pi^2}}{4} \right ) = \frac{1}{4}[latex]

O gráfico correspondente seria esse, mas não há valor de x que torne y = 1/4. Posso ter errado alguma coisa.