Transformações trigonométricas

por lcvf9696 Qua 20 Mar 2019, 00:33

Calcule o valor de M =(1+cos(7π/ Cool

).(1+cos(3π/ Cool

).(1+cos(5π/ Cool

).(1+cos(π/ Cool

)

A) 1 B) 1/2 C) 1/4 D) 1/8 E) 1/16

Gab:D

por **Elcioschin** Qua 20 Mar 2019, 08:41

M =[(1+cos(7π/ Cool

].[(1+cos(3π/ Cool

].[(1+cos(5π/ Cool

].[(1+cos(π/ Cool

]

Fórmula básica: 1 + cos(2.θ) = 2.cos²θ

1 + cos(7.pi/ Cool

= 2.cos²(7.pi/16)
1 + cos(pi/ Cool

= 2.cos²(pi/16)

Faça o mesmo para o par 1+cos(5.π/ Cool

e 1+cos(3.π/ Cool

Prostaférese:

cosp + cosq = 2.cos[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]

Faça p = 7.pi/8 e q = pi/8 e calcule p, q

Depois repita para o outro par

por **fantecele** Qua 20 Mar 2019, 14:32

Uma outra forma seria:
Perceba que cos(7π/8 ) = - cos(π/8 ) e cos(5π/8 ) = - cos(π/8 ), dai aquele produto fica:
(1 + cos(π/8 ))(1 + cos(3π/8 ))(1-cos(3π/8 ))(1-cos(π/8 ))
(1 - cos²(π/8 ))(1-cos²(3π/8 ))
sen²(π/8 ).sen²(3π/8 )
(sen(π/8 ).sen(3π/8 ))²

Aplicando Prostaférese:

((cos(π/2) - cos(π/4))/2)² = 1/8

Uma outra forma seria montando um polinômio que tenha raízes cos(π/8 ), cos(3π/8 ), cos(5π/8 ), cos(7π/8 ):

Perceba que cos(4x) = 0 para x = π/8, 3π/8, 5π/8, 7π/8.
cos (4x) = 8cos^4(x) - 8cos²(x) + 1 = 0

Portanto os ângulos citados acima satisfazem "8cos^4(x) - 8cos²(x) + 1 = 0", e portanto cos(π/8 ), cos(3π/8 ), cos(5π/8 ), cos(7π/8 ) são raízes de:

8k^4 - 8k² + 1 = 0 (I)

Aqui você poderia pegar o produto do enunciado, desenvolver ele e depois aplicar Girard para encontrar o valor pedido, ou você poderia fazer uma transformação. Perceba que naquele produto os cossenos estão sendo somados com 1, então basta fazer a transformação y = k+1, para transformar as raízes de (I) que são cos(π/ Cool

, cos(3π/

, cos(5π/

, cos(7π/

em 1+cos(π/8 ), 1+cos(3π/8 ), 1+cos(5π/8 ), 1+cos(7π/8 ), dessa forma, fazendo k = y - 1:

8k^4 - 8k² + 1 = 0
8(y-1)^4 - 8(y-1) + 1 = 0

Como queremos apenas o produto, basta termos os valores para a maior potencia de y e do termo independente de y:

8y^4 + ... + 8 - 8 + 1 = 0
8y^4 + ... + 1 = 0

Portanto, por Girard, o produto será 1/8

A primeira resolução ali é bem mais simples, essa ideia de usar polinômios para encontrar o valor para alguma soma ou produto envolvendo seno ou cosseno (e por ai vai) é melhor ser usada quando se tem alguma soma ou produto mais difícil, mas não deixa de ser uma ideia de resolução.