Transformações trigonométricas

por mahriana Sáb 02 Fev 2013, 17:36

Demonstre que todo triangulo cujos angulos verificam a relação $\mathbf{sen 3A+sen3B+sen3C =0}$ tem um angulo de 60º

por mahriana Sáb 02 Fev 2013, 19:42

Alguém ??

por **Robson Jr.** Sáb 02 Fev 2013, 20:24

C = π - (A+B):

$\small sen(3A)+sen(3B)+sen(3\pi - 3(A+B))=0 \\ \Leftrightarrow \ sen(3A)+sen(3B)+sen(3(A+B))=0 \\$

Transformando sen(3A) + sen(3B) em produto:

$\small 2sen\left ( \frac{3(A+B)}{2} \right )cos\left ( \frac{3(A-B)}{2} \right )+sen(3(A+B))=0$

sen(3(A+B)) = sen(2 . 3(A+B)/2):

$\small 2sen\left ( \frac{3(A+B)}{2} \right )cos\left ( \frac{3(A-B)}{2} \right )+2sen\left ( \frac{3(A+B)}{2} \right )cos\left ( \frac{3(A+B)}{2} \right )=0 \\\\ \Leftrightarrow \ 2sen\left ( \frac{3(A+B)}{2} \right )\left ( cos\left ( \frac{3(A+B)}{2} \right )+cos\left ( \frac{3(A-B)}{2} \right ) \right )=0$

1º caso: sen[ 3(A+B)/2 ] = 0

$\small \frac{3(A+B)}{2}=\pi \Rightarrow 3(A+B)=2\pi \Rightarrow A+B=2(\pi-(A+B)) \Rightarrow A+B=2C$

Podemos entender esse resultado como "A, C e B, nesta ordem, estão em PA". Sendo r a razão da PA:

$\small A+C+B=\pi \Rightarrow C-r+C+C+r=\pi \Rightarrow \boxed{C=\frac{\pi}{3}=60^{o}}$

2º caso: cos[3(A+B)/2] + cos[3(A-B)/2] = 0

$\small cos\left ( \frac{3(A+B)}{2} \right )=-cos\left ( \frac{3(A+B)}{2} \right ) \Rightarrow cos\left ( \frac{3(A+B)}{2} \right )=cos\left ( \pi -\frac{3(A+B)}{2} \right )$

Igualando os arcos:

$\small \frac{3(A+B)}{2}=\pi - \frac{3(A-B)}{2} \Rightarrow 3B=\pi \Rightarrow \boxed{B=\frac{\pi}{3}=60^{o}}$

cqd

por mahriana Sáb 02 Fev 2013, 22:42

Obrigada Robson Jr . Very Happy

Uma pequena correção no começo:

$sen\,3C=\boxed{-sen\,(3A+3B)}$

Logo temos:

$2sen\,\left (\frac{3(A+B)}{2} \right )\left [ cos\,\left ( \frac{3(A-B)}{2} \right ) -cos\,\left ( \frac{3(A+B)}{2} \right )\right ]=0$

Ficamos com
$4\cdot sen\,\frac{3A}{2}\cdot sen\,\frac{3B}{2}\cdot sen\,\frac{3(A+B)}{2}=0$

Provando que A, B ou C tem 60º

por **Robson Jr.** Sáb 02 Fev 2013, 23:55

mahriana, sua correção está errada.

sen(3C) = sen(3π - 3(A+B)) = sen(2π + π - 3(A+B)) = sen(π - 3(A+B)) = sen(3(A+B))

por JEABM Qui 02 Jul 2020, 17:21

alguem poderia me ajudar...n estou enxergando onde estou errando..

por JEABM Qui 02 Jul 2020, 18:10

Robson Jr, como sen (2.3(a+b)/2) virou + ..... Transformações trigonométricas FiAq9BizIvWWU94KAIBDeCIAxyJ9gIHPgyZkDgXKUXwWaUfIJAoKAICAICAKCQOgREEEe+jGQFggCgoAgIAgIAgEjIII8YOgkoyAgCAgCgoAgEHoERJCHfgykBYKAICAICAKCQMAIiCAPGDrJKAgIAoKAICAIhB4BEeShHwNpgSAgCAgCgoAgEDACIsgDhk4yCgKCgCAgCAgCoUdABHnox0BaIAgIAoKAICAIBIyACPKAoZOMgoAgIAgIAoJA6BH4P2AQ6n3OF1xXAAAAAElFTkSuQmCC