Transformações trigonométricas

O valor máximo da função f(x) = 3 cos(x) + 2 sen(x) para x real é?


@edit: 

resultado: √13

Derivando a função --> f '(x) = - 3.senx + 2.cosx

Valor máximo ---> f '(x) = 0 ---> - 3.senx + 2.cosx = 0 ---> tgx = 2/3

Calculando ---> senx = 2.√13/13 e cosx = 3.√13/13

f(x)máx = 3.(3.√13/13) + 2.(2.√13/13) = 9.√13/13 + 4.√13/13 = √13

Obrigado, Elcio. Esqueci de colocar o resultado antes, o livro afirma que é √ 13. Então duas dúvidas, derivar é conteúdo do ens. médio? Não aprendi a fazer isso no meu livro. A outra é se o gabarito está errado

Artifício para não usar derivada:

triângulo retângulo de catetos 2 e 3, logo a hipotenusa é igual à √13
.:. senβ = 3/√13 (β é um ângulo qualquer do triângulo retângulo) e 
cosβ = 2/√13

--> f(x) = (√13senβcosx + √13cosβsenx) --> 
f(x) = √13(senβcosx + cosβsenx) = √13sen(β + x)
o valor máximo da função seno é 1 .:. o valor máximo de f(x) é √13

riddle

Cometi um erro bobo de conta. Já editei
Isto mostra como é importante a colocação do gabarito, junto com o enunciado, seguindo a Regra XI: Se tivesse sido postado eu teria percebido o meu erro e corrigido a tempo.

Obrigado, Elcio!

Aeron, consegui entender seu método, mas poderia me falar qual o nome dele para eu pesquisar sobre ou então a lógica dele? Obrigado!

O método tem um nome como "Truque do triângulo retângulo":

b.senx + c.cosx = k ---> b ≠ c

Deseja-se fazer com que b seja cosseno (ou seno) de algum ângulo, por exemplo: b = cosθ
Idem queremos: c = senθ

Acontece que, se |a|, |b| ou ambos forem maiores do que 1 isto seria impossível. Então vamos usar um artifício matemático:

1) Temos senθ e cosθ ---> isto leva a um triângulo retângulo de catetos b, c onde b = AC e c = AB
2) Seja a a hipotenusa deste triângulo (a = BC) ---> a = √(b² + c²)
3) Seja, por exemplo, θ = A^CB

cosθ = b/a ---> cosθ = b/√(b² + c²)
senθ = c/a ---> senθ = c/√(b² + c²)

b.senx + c.cosx = k ---> Dividindo tudo por a:

(b/a).senx + (c/a).cosx = k/a

[b/√(b² + c²)].senx + [c/√(b² + c²)].cosx = k/√(b² + c²)

cosθ.senx + senθ.cosx = k/√(b² + c²) ---> Invertendo o 1º termo:

senx.cosθ + senθ.cosx = k/√(b² + c²)

sen(x + θ) = k/√(b² + c²) ---> Seja k/√(b² + c²) = senβ ---> β = arcsen[k/√(b² + c²)]

sen(x + θ) = senβ

x + θ = β

x = β - θ

Muito obrigado mesmo, Elcio. Estava procurando isso por toda parte!