Transformações Trigonométricas

por Blackmount Qui 26 Fev 2015, 23:23

Mostre que a expressão

$E(x) = cosx.\left (1 + tanx.tan\frac{x}{2} \right)$

tem valor constante, independente do arco x.

por **Carlos Adir** Sex 27 Fev 2015, 08:25

seja t=tan x/2 então:
$\\ E(x)=cos \ x \cdot \left( 1+tan \ x \cdot tan \ \dfrac{x}{2} \right ) \\ E(x)=cos \ x \left(1+tan \ x \cdot t \right )$

Pelas relações:
$\\ cos \ x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2} \\ tan \ x = \dfrac{2t}{1-t^2}$
Então podemos substituir:
$\\ E(x)=\left(\dfrac{1-t^2}{1+t^2} \right )\left(1+\left(\dfrac{2t}{1-t^2} \right )\cdot t \right ) \\ E(x)=\dfrac{(1-t^2)(1-t^2+2t^2)}{(1+t^2)(1-t^2)} \\ E(x)=\dfrac{1+t^2}{1+t^2}=1$

Logo:
$E(x) = 1 \ \forall \ x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{k\pi}{2} \right \}; \ \ \ k \in \mathbb{Z}$

Relações tiradas do tópico:
Demonstrações de identidades trigonométricas

Transformações Trigonométricas

Transformações Trigonométricas

Re: Transformações Trigonométricas

Um fórum livre e democrático.