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Gravitação - sistema de massa reduzida

4 participantes

PiR2 :: Física :: Mecânica Geral

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Resolvido Gravitação - sistema de massa reduzida

Mensagem por leohenoli Ter 14 Jul 2020, 14:59

Dois corpos, um de massa [latex]m1[/latex] e [latex]m2[/latex], estão em repouso no espaço, e sob influência apenas de suas atrações gravitacionais. Sabendo que eles estão inicialmente a uma distância [latex]d[/latex], qual o tempo em que eles levam para se chocar?


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Última edição por leohenoli em Qua 15 Jul 2020, 16:50, editado 1 vez(es)

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Resolvido Re: Gravitação - sistema de massa reduzida

Mensagem por Elcioschin Ter 14 Jul 2020, 15:35

Uma tentativa:

F = G.m1.m2/d² 

(m1 + m2).a = G.m1.m2/d²  ---> a = G.m1.m2/(m1 + m2).d² 


d = (1/2).a.t² ---> t² = 2.d/a ---> t² = 2.d/[ G.m1.m2/(m1 + m2).d² --->

t = √[2.d³(m1 + m2)/G.m1.m2]
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Resolvido Re: Gravitação - sistema de massa reduzida

Mensagem por Edsonrs Ter 14 Jul 2020, 16:07

Sinto, mas o sistema não é uniformemente acelerado, logo d = (1/2).a.t² não serve.
Estou pensando uma solução, mas parece difícil.
Esto tentando com um corpo fixo e o outro caindo, mas tem uma integral muito cabeluda.

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Resolvido Re: Gravitação - sistema de massa reduzida

Mensagem por Elcioschin Ter 14 Jul 2020, 16:20

Um outro modo é calcular a energia potencial gravitacional Ep dos dois corpos na distância d

A energia cinética final Ec de ambos deverá igual a Ep
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Resolvido Re: Gravitação - sistema de massa reduzida

Mensagem por Matheus Tsilva Ter 14 Jul 2020, 19:05

Gravitação - sistema de massa reduzida Gif.latex?Com%5C%20a%5C%20energia%5C%20temos%3A%5C%5C%20%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7B2%7D%3DG%28m1%29%28m2%29%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bd%7D%29%5C%5C%20%5C%5C%20v%5E2%3D%5Csqrt%7B2G%28m1%29%28m2%29%28%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bd%7D%29%7D%5C%5C%20%5C%5C%20Chamando%5C%20%5Csqrt%7BG%28m1%29%28m2%29%7D%5C%20de%5C%20k%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20x%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20t%7D%20%3D%20k%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bd%7D%7D%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7B%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7Bd%7D%7D%7D%3Dk.dt%5C%20para%5C%20x%3Dd.%28cos%5CTheta%20%29%5E2%5C%20%5C%20dx%3D-2dsen%5CTheta%20cos%5CTheta%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cfrac%7B-2.d%5Csqrt%7Bd%7D.sen%5CTheta.cos%5CTheta.d%5CTheta%7D%7B%5Csqrt%7Btg%5E2%5CTheta%7D%7D%3Dk.dt%5C%5C%20%5C%5C%20-2.d%5Csqrt%7Bd%7D.cos%5E2%5CTheta.d%5CTheta%20%3D%20k.dt%5C%5C%20%5C%5C%20Fazendo%5C%20a%5C%20integral%5C%20%2C%5C%20x%5C%20variando%5C%20de%5C%20%5Cfrac%7Bm2.d%7D%7Bm1+m2%7D%5C%20ate%5C%200%28onde%5C%20e%5C%20medido%5C%20em%5C%20relacao%5C%20ao%5C%20centro%5C%20de%5C%20massa%29%5C%20e%5C%20t%5C%20de%5C%200%5C%20ao%5C%20tempo%5C%20t%28pedido%29.%5C%5C%20%5C%5C%20%5Cint_%7Barccos%28%5Cfrac%7Bm2%7D%7Bm1+m2%7D%29%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D-2.d%5Csqrt%7Bd%7D.cos%5E2%5CTheta.d%5CTheta%20%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bt%7Dk.dt%5C%5C%20%5C%5C%20-2.d%5Csqrt%7Bd%7D%5Cint_%7Barccos%28%5Cfrac%7Bm2%7D%7Bm1+m2%7D%29%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7Dcos%5E2%5CTheta.d%5CTheta%20%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7Bt%7Dk.dt%5C%5C%20%5C%5C%20-2.d%5Csqrt%7Bd%7D%5Cint_%7Barccos%28%5Cfrac%7Bm2%7D%7Bm1+m2%7D%29%7D%5E%7B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%7D%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20+%20%5Cfrac%7Bcos2%5CTheta%7D%7B2%7D%29.d%5CTheta%20%3D%20k.t%5C%5C%20%5C%5C%20Substituindo%5C%20k%5C%20por%5C%20%5Csqrt%7BG%28m1%29%28m2%29%7D%5C%20so%5C%20achar%5C%20t
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Resolvido Re: Gravitação - sistema de massa reduzida

Mensagem por Matheus Tsilva Ter 14 Jul 2020, 19:07

acho que é isso ai, acho que não da pra calcular sem integral....
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Resolvido Re: Gravitação - sistema de massa reduzida

Mensagem por leohenoli Ter 14 Jul 2020, 22:05

Obrigado a todos pelas respostas.

Matheus, não entendi por que na expressão da energia, no lado esquerdo da equação, está somente v^2/2. Deveria ter massa dos dois corpos multiplicando pelo quadrado da velocidade, não?

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Resolvido Re: Gravitação - sistema de massa reduzida

Mensagem por Matheus Tsilva Ter 14 Jul 2020, 22:41

é verdade , eu esqueci
era pra ser m2.v^2/2
suave ?
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