Limites (1.9) - Lista 1 USP

por **Kayo Emanuel Salvino** 20/5/2020, 11:57 am

Seja f : R → R uma função tal que 1 + x² + (x^6)/6 ≤ f(x) + 1 ≤ sec² x + (x^6)/3 , para todo x no intervalo ] -π/2 , π/2 [. Calcule o limite de f(x)*cos( 1/(x²+x) ) quando x tende a zero.

Novamente,verificar se não errei em algum passo.Tentativa:

Aplicando o limite quando x tende a zero em todos membros da inequação,teremos que 1 ≤ f(x) + 1 ≤ 1 , daí o limite de f(x) quando x tende a zero vale zero.Assim,o limite pedido é zero ( multiplica a inequação 0 ≤ f(x) ≤ 0 por cos( 1/(x²+x) ) ).É certo fazer isso ?

Agradeço atenção!!

por Lucasdeltafisica 20/5/2020, 5:57 pm

Nao sei se pode fazer este truque final na inequação, por via das dúvidas eu fecharia -f(x) < f(x)*cos( 1/(x²+x) ) ) < f(x) e assim usaria o Teorema do confronto.

por **Kayo Emanuel Salvino** 20/5/2020, 6:23 pm

Nesse caso, a gente já sabe que o comportamento de cos 0 é 1, quando x fica arbitrariamente pequeno,1/(x²+x) tende a zero, daí a expressão cos(1/(x²+x)) tende a 1.Mas vou ter um cuidado maior.Obrigado!

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