Geometria Plana - Ângulos

por edu_casarin Qui 23 Abr 2020, 22:06

Os pontos ABCDE da figura resultam da divisão de uma circunferência em 5 partes congruentes. Por consequência: a soma dos ângulos 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10 igual a:

A) 800º B) 700º C) 720º D) 760º E) 750º

Resposta

Spoiler:

por **Elcioschin** Qui 23 Abr 2020, 22:19

Seja O o centro do círculo

AÔB = BÔC = CÔD = DÔE = EÔA = 360º/5 = 72º

CÂD = (1/2).CÔD ---> CÂD = (1/2).72º ---> CÂD = 36º

Seja x o ângulo oposto pelo vértice de CÂD., no triângulo x, 1, 2

x + 1 + 2 = 180º ---> 36º + 1 + 2 = 180º ---> 1 + 2 = 144º

Idem para os demais 4 triângulos ---> 5.144º = 720º

por **Mateus Meireles** Qui 23 Abr 2020, 22:21

Olá, edu.

Perceba que os vértices A, B, C, D e E formam uma estrela e, portanto, a soma de seus ângulo vale 180º: https://pir2.forumeiros.com/t137991-pucsp-84-geometria-plana-triangulos

Mas os ângulos desses vértices são OPV de triângulos também com vértice em, A, B, C, D e E. Assim, a soma pedida é

1 + 2 +A + 3 + 4 + B+ ... + E + 9 + 10 = 5x180

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10 = 5x180 - 180 = 720.

Abs.

por edu_casarin Qui 23 Abr 2020, 22:36

Elcioschin escreveu:Seja O o centro do círculo

AÔB = BÔC = CÔD = DÔE = EÔA = 360º/5 = 72º

CÂD = (1/2).CÔD ---> CÂD = (1/2).72º ---> CÂD = 36º

Seja x o ângulo oposto pelo vértice de CÂD., no triângulo x, 1, 2

x + 1 + 2 = 180º ---> 36º + 1 + 2 = 180º ---> 1 + 2 = 144º

Idem para os demais 4 triângulos ---> 5.144º = 720º

Obrigado mestre, consegui compreender a questão

por edu_casarin Qui 23 Abr 2020, 22:38

Mateus Meireles escreveu:Olá, edu.

Perceba que os vértices A, B, C, D e E formam uma estrela e, portanto, a soma de seus ângulo vale 180º: https://pir2.forumeiros.com/t137991-pucsp-84-geometria-plana-triangulos

Mas os ângulos desses vértices são OPV de triângulos também com vértice em, A, B, C, D e E. Assim, a soma pedida é

1 + 2 +A + 3 + 4 + B+ ... + E + 9 + 10 = 5x180

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 10 = 5x180 - 180 = 720.

Abs.

Olá mateus

Tinha chegado na parte do 900, porém não estava entendendo o porque de tirar 180 no final, vendo o tópico consegui sanar essa dúvida Very Happy