Discussão de sistema linear (não entendi a resolução)

FME, Vol. 4, questão 381. Discuta o sistema:

mx + y = 1
x + y = 2
x - y = m

Eis a resolução. Minha dúvida é: como ele sabia que deveria fazer m = 0 e –m + 1 = 0 para "sumir" com uma das equações e escalonar o sistema, achando os valores possíveis e determinados? Além disso, quando ele faz –m + 1 = 0, o sistema não se tornaria impossível em vez de determinado, uma vez que a segunda equação (da resolução) fica 0y = –1, que é impossível?

Eu procederia de maneira diferente.

x + y = 2
(-m + 1)y = -2m + 1
-2y = -2 + m

Como apenas (-m + 1)y = -2m + 1 possui um coeficiente com parâmetro m, comecemos por ela.

Se -m + 1 = 0, então m = 1. Ademais, 0*y = -2m + 1 ----> m = 1/2, o que é uma incoerência. Logo, m = 1 ----> sistema impossível.

Do contrário, y = (1 - 2m)/(1 - m), pela equação II.

Pela equação III, y = 1 - m/2.
Assim, isolando y em II e III e igualando: (1 - 2m)/(1 - m) = 1 - m/2 ----> resolvendo, encontra-se m = -1 ou m = 0. Isso explica porque ele testou m = 0. Uma outra maneira de ver porque testar m = 0 está na equação II antes do escalonamento; o m por si só é coeficiente do x, então naturalmente ter-se-ia que testar m = 0.

Para m = -1, y = 3/2 e x = 1/2, SPD.
Para m = 0, y = 1 e x = 1, SPD.
Para m = 1, SI, conforme visto.

Para qualquer outro valor de m, o sistema é do tipo SI, pois o isolamento de y em II não será igual ao de y em III no escalonado, que foi o que forcei que acontecesse na equação em negrito.

Muito obrigado, Ashitaka. Sua resolução me parece perfeitamente coerente. A conclusão do gabarito deve estar errada.