Polinômios
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Bruna Ce- Jedi
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Re: Polinômios
por Bruna Ce Seg 18 Nov 2019, 23:48
Perdão, a questão é:
Um polinômio P(x), de grau 7 e coeficientes reais, é divisível pelos polinômios Q(x) = x² + 2x + 2 e S(x) -2x² + x + 1. Sabendo que o número i é uma raiz de P(x), é correto concluir que o número total de raízes reais desse polinômio é igual a
Um polinômio P(x), de grau 7 e coeficientes reais, é divisível pelos polinômios Q(x) = x² + 2x + 2 e S(x) -2x² + x + 1. Sabendo que o número i é uma raiz de P(x), é correto concluir que o número total de raízes reais desse polinômio é igual a
Bruna Ce- Jedi
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Re: Polinômios
por Emersonsouza Ter 19 Nov 2019, 00:16
Se P(x) tem coeficientes reais e i é raiz ,então, - i também será raiz,pois a soma de todas as raízes gera um número real .
Q(x) = x² + 2x + 2
∆= 4-8--> ∆=-4
X= -2+2i/2=-1+i ou x= -2-2i/2= -1-i =
Forma fatorada de Q(x) --> (x+1-i)*(x+1+i)
Q(x) é divisor de P(x) ,logo pelo teorema da divisão de polinômios que nos diz o seguinte:
se um polinômio é divisível por (x-a)*(x-b), então, este polinômio é divisível por x-a e x-b separadamente.
Temos ,portanto, que P(x) é divisível por(x+1-i) e (x+1+i) ,logo -1+i e -1-i são raízes de P(x)(teorema de D'alembert).
S(x)=-2x² + x + 1
∆=1+8=9
X=(+1+3)/4=2 ou x= -1/2
Forma fatorada de S(x)--> -2(x+1/2)*(x-2)= (-2x-1)*(x-2)
Mesmo caso que Q(x)
-1/2 e 2 são raízes de P(x)(teorema de D'alembert)
Até agora temos as seguintes raízes:
2,-1/2,-1+i,-1-i, i e -i
Somando todas estas raízes temos -1/2.
Como a soma de todas as sete raízes é um número real , a sétima raiz é real.
Portanto, o número de raízes reais é 3.
Q(x) = x² + 2x + 2
∆= 4-8--> ∆=-4
X= -2+2i/2=-1+i ou x= -2-2i/2= -1-i =
Forma fatorada de Q(x) --> (x+1-i)*(x+1+i)
Q(x) é divisor de P(x) ,logo pelo teorema da divisão de polinômios que nos diz o seguinte:
se um polinômio é divisível por (x-a)*(x-b), então, este polinômio é divisível por x-a e x-b separadamente.
Temos ,portanto, que P(x) é divisível por(x+1-i) e (x+1+i) ,logo -1+i e -1-i são raízes de P(x)(teorema de D'alembert).
S(x)=-2x² + x + 1
∆=1+8=9
X=(+1+3)/4=2 ou x= -1/2
Forma fatorada de S(x)--> -2(x+1/2)*(x-2)= (-2x-1)*(x-2)
Mesmo caso que Q(x)
-1/2 e 2 são raízes de P(x)(teorema de D'alembert)
Até agora temos as seguintes raízes:
2,-1/2,-1+i,-1-i, i e -i
Somando todas estas raízes temos -1/2.
Como a soma de todas as sete raízes é um número real , a sétima raiz é real.
Portanto, o número de raízes reais é 3.
Última edição por Emersonsouza em Ter 19 Nov 2019, 00:47, editado 2 vez(es)
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Re: Polinômios
por Bruna Ce Ter 19 Nov 2019, 01:28
Não tenho o gabarito =/ Mas a letra E tem como resposta 3, então acredito que esteja certo. Muito obrigada!!
Bruna Ce- Jedi
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Re: Polinômios
por Emersonsouza Ter 19 Nov 2019, 06:52
Bruna,desculpe-me ser chato ,mas postar questões de multipla escolha sem as alternativas viola uma das regras do fórum,veja:
"Quando uma questão possui alternativas estas FAZEM PARTE da questão e devem ser postadas integralmente. Da mesma forma não deixe de postar a resposta esperada, se a conhecer. Isso será de valia para quem tentar ajudá-lo(a)."
Por favor ,sempre que possível poste as alternativas.
Agradeço a sua compreensão !
"Quando uma questão possui alternativas estas FAZEM PARTE da questão e devem ser postadas integralmente. Da mesma forma não deixe de postar a resposta esperada, se a conhecer. Isso será de valia para quem tentar ajudá-lo(a)."
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