demonstração de continuidade

Mostre que f(x)=x³ é contínua em 1.


Como fazer apenas com a definição de função contínua? Sem usar limites.

f(x) = x³

f '(x) = 3.x² 

Par x = 1 ---> f'(1) = 3 

Existe derivada no ponto (1, 1) ---> a função é contínua em x = 1

Por delta-epsilon:


|x-1| < delta (partimos disso)

|f(x) - 1| = |x³-1| = |x-1| |x²+x+1| < delta * |x²+x+1|

Então: |f(x)-1|<  delta * |x²+x+1|
|f(x)-1| <  delta * |(x-1)² + 3x|
Mas, sabemos que:
|(x-1)² +3x| <= |(x-1)²|+ |3x|
|(x-1)² +3x| < |3x| + delta²
Além disso: |3x| = |3(x-1) +3| <= 3 + 3|x-1| < 3 +3*delta
Logo:
|f(x)-1|<  delta*(3 + 3*delta + delta²)
|f(x)-1|<  delta³ + 3delta²+ 3delta

Tomando epsilon =  delta³ + 3delta²+ 3delta,
|f(x)-1|< epsilon (chegamos nisso)


o que completa a prova.

Nota: diminuindo o delta, diminuímos também o epsilon, de modo que f(x) pode chegar tão próximo de f(1) quanto a gente queira.

De modo geral, basta achar epsilon em função de delta, de tal modo que quando delta tende a zero, epsilon tende a zero, que a prova ta concluída.

Matemathiago escreveu:Por delta-epsilon:


|x-1| < delta (partimos disso)

|f(x) - 1| = |x³-1| = |x-1| |x²+x+1| < delta * |x²+x+1|

Então: |f(x)-1|<  delta * |x²+x+1|
|f(x)-1| <  delta * |(x-1)² + 3x|
Mas, sabemos que:
|(x-1)² +3x| <= |(x-1)²|+ |3x|
|(x-1)² +3x| < |3x| + delta²
Além disso: |3x| = |3(x-1) +3| <= 3 + 3|x-1| < 3 +3*delta
Logo:
|f(x)-1|<  delta*(3 + 3*delta + delta²)
|f(x)-1|<  delta³ + 3delta²+ 3delta

Tomando epsilon =  delta³ + 3delta²+ 3delta,
|f(x)-1|< epsilon (chegamos nisso)


o que completa a prova.

Nota: diminuindo o delta, diminuímos também o epsilon, de modo que f(x) pode chegar tão próximo de f(1) quanto a gente queira.

De modo geral, basta achar epsilon em função de delta, de tal modo que quando delta tende a zero, epsilon tende a zero, que a prova ta concluída.

Primeira vez que tinha tido contato com a definição precisa assim, foi um pouco difícil no começo mas acho que peguei. Obrigado