Continuidade

Utilizando a definição formalnde limite e continuidade, prove que a função
 é contínua em todo seu domínio.

Tome um [latex]p\in\mathbb{R}[/latex]. Buscamos um [latex]\delta>0[/latex] tal que para qualquer [latex]\varepsilon[/latex], temos [latex]|x-p| < \delta \implies |f(x) - f(p)| < \varepsilon [/latex]. Se
    [latex]\begin{align*} |f(x) - f(p)| < \varepsilon &\iff \\~\\ | 75x^7-2 -75p^7+2| < \varepsilon &\iff \\~\\ |75x^7-75p^7| < \varepsilon&\iff \\~\\ 75|x^7-p^7| < \varepsilon &\iff \\~\\ \left|x^7-p^7\right| < \dfrac{\varepsilon}{75} &\iff \\~\\ \left|(x-p)\left( x^6+x^5p+\cdots+xp^5+p^6\right )\right|< \dfrac{\varepsilon}{75} &\iff \\~\\ \left|x-p|\cdot|\left( x^6+x^5p+\cdots+xp^5+p^6\right )\right|< \dfrac{\varepsilon}{75} &\end{align*}[/latex]

Fixando     [latex]|x-p| <1 [/latex], temos     [latex]|x| = |x-p+p| \leq |x-p| +|p| \leq 1+|p| [/latex].

Agora:


    [latex]\begin{align*} |x^6+x^5p+\cdots+xp^5+p^6| &\leq |x^6|+|x^5p| +\cdots +|xp^5|+|p^6| \\~\\ &= |x|^6+|x|^5\cdot|p| +\cdots +|x|\cdot |p|^5+|p|^6\\~\\ &\leq \left(1+|p| \right )^6+\left(1+|p| \right )^5\cdot |p|+\cdots+(1+|p|)\cdot| p|^5+|p|^6\\~\\ &\leq 7\cdot (1+|p|)^6 \end{align*}[/latex]

Temos     [latex]|x^6+x^5p+\cdots+xp^5+p^6| \leq 7\cdot (1+|p|)^6 \iff|x-p| |x^6+x^5p+\cdots+xp^5+p^6| \leq 7\cdot (1+|p|)^6\cdot |x-p|[/latex].

Basta     [latex] |x-p| <\dfrac{\varepsilon}{7\cdot (1+|p|)^6\cdot 75}[/latex]. Como obrigamos [latex]|x-p| <1 [/latex], temos     [latex]\delta = \min\left\{1 , \dfrac{\varepsilon}{7\cdot (1+|p|)^6\cdot 75}\right\}[/latex].

Creio que seja isso