IberoAmericana 1997 - Não entendi a solução.
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IberoAmericana 1997 - Não entendi a solução.
por wueur Ter 10 Set 2019, 18:49
(Fonte: Combinatória Geométrica, POTI nível 2)
(Ibero 1997) Seja P={P1, P2, ..., P1997} um conjunto de 1997 pontos no interior de um círculo de raio 1, com P1 sendo o centro do circulo. Para k= 1,2, ...,1997 seja xk a distancia de Pk ao ponto de P mais próximo de Pk. Mostre que x1^2+x2^2+· · ·+x1997^2≤9.
Solução: Note que xk≤1, para todo k. Para cada k= 1, ...,1997 trace uma circunferência de raio xk/2 e centro em Pk. Estas 1997 circunferências não se intersectam (no máximo se tocam) e estão todas no interior de uma circunferência Γ de centro em P1 e raio 3/2. Desta forma, a soma de suas áreas é menor que a área de Γ. Escrevendo isto em uma equação,temos:
Minha dúvida está na parte em que se é utilizado o raio 3/2. Por que podemos utilizar esse raio, sendo que os pontos estão dentro do raio 1 do círculo original? Esse raio parece-me que foi tirado do submundo, apenas para que a conta fosse resolvida...
(Ibero 1997) Seja P={P1, P2, ..., P1997} um conjunto de 1997 pontos no interior de um círculo de raio 1, com P1 sendo o centro do circulo. Para k= 1,2, ...,1997 seja xk a distancia de Pk ao ponto de P mais próximo de Pk. Mostre que x1^2+x2^2+· · ·+x1997^2≤9.
Solução: Note que xk≤1, para todo k. Para cada k= 1, ...,1997 trace uma circunferência de raio xk/2 e centro em Pk. Estas 1997 circunferências não se intersectam (no máximo se tocam) e estão todas no interior de uma circunferência Γ de centro em P1 e raio 3/2. Desta forma, a soma de suas áreas é menor que a área de Γ. Escrevendo isto em uma equação,temos:
Minha dúvida está na parte em que se é utilizado o raio 3/2. Por que podemos utilizar esse raio, sendo que os pontos estão dentro do raio 1 do círculo original? Esse raio parece-me que foi tirado do submundo, apenas para que a conta fosse resolvida...
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