tração no fio

por hutzmef Sex 17 Dez 2010, 11:48

Uma pedra de 3 N de peso, amarrada a um cordel de 2,5 m de comprimento, descreve uma circunferência horizontal de 2 m de raio, O cordel, fixo em uma das extremidades gera uma superfície cônica.Determine: a) a força de tração no fio e b) a frequência f de rotação, em Hz.
Adote g = 10 m/s2

resp:
A) 5N
B) 0,4 Hz

como posso resolver?

por **JoaoGabriel** Sex 17 Dez 2010, 13:03

Eis o esquema das forças:

tração no fio Capturarhf

Como o corpo não cai no chão, temos um equilíbrio na vertical. Note que para que tal equilíbrio ocorra, Ty = P.

Lembrando que a força tração (T), como é diagonal, está dividida em Tx (Tsenθ) e Ty (Tcosθ).

Equilíbrio na vertical:

$\\Ty = Tcos\theta \\ Tcos\theta = 3 \\ T = \frac {3}{cos\theta}$

Mas, como vamos saber qual o cosseno de teta?
É simples, lembrando que seno = cateto oposto/hipotenusa e cosseno = cateto adjacente/hipotenusa.

$\\sen\theta = \frac {2}{2,5}\rightarrow 0,8$

Tendo o seno podemos descobrir o cosseno:

$\\sen^2\theta + cos^2\theta = 1\\0,8^2 + cos^2\theta = 1 \to cos\theta = 0,6$

Agora é só substituir:

$\\T = \frac {3}{cos\theta}\\T = \frac {3}{0,6}\rightarrow \fbox {T = 5 N}$

Agora letra B)

Essa letra B) eu fiz, discuti com Luís Eduardo sobre ela e chegamos a um consenso. O gabarito ou está errado, ou está muito aproximado. Veja só:

A componente horizontal da tração (Tx) realiza o papel de resultante centrípeta. Assim:

$\\Tx=F_{cp}\\Tsen\theta=\frac {mv^2}{R}\\5\times0,8=\frac{0,5v^2}{2}\\0,5v^2=8\\v^2 = 16\\ v = 4m/s$

Temos que:

$\\\omega = \frac {V_m}{R} \\\omega = 4/2 \rightarrow \omega = 2rad/s$

Sabemos que:

$\omega = 2\pi f \rightarrow 2 = 2\pi f \rightarrow f = \frac {1}{\pi}$

Chegamos a esse valor de f, que não corresponde exatamente ao gabarito. Assim vamos fazer de outro jeito. Temos que f = 1/T.
No caso T é o tempo que a pedra leva para percorrer o comprimento do círculo. Assim:

$\\T = \frac {C}{v}\\C=4\pi\rightarrow T= \frac {4\pi}{4}\\ T = \pi$

$\\f = \frac {1}{T}\\ f = \frac {1}{\pi}$

Chegamos ao mesmo resultado. Usando uma boa aproximação e considerando $\pi = 3$ , teremos 1/3, que é 0,33333..., que pode ter sido arredondado para f = 0,4 Hz.

Acho que é isso, se houver um erro favor fazer a correção. Agradeço ao Luís por confirmar esse resultado. Abraços.

PS: Resolvendo usando a fórmula do período do pêndulo cônico, chegamos ao mesmo resultado. Deve estar correto, pois "todos caminhos levaram a Roma".

por **Euclides** Sex 17 Dez 2010, 15:11

Ola JoaoGabriel e luiseduardo,

ta' tudo muito bom, so' cometeram um engano no valor da massa nos cálculos (0,3 e nao 0,5):

$\120dpi \\Tx=F_{cp}\\Tsen\theta=\frac {mv^2}{R}\\5\times0,8=\frac{0,{\color{red}3}v^2}{2}\\0,{\color{red}3}v^2=8\\v^2 \sim 27\\ v \sim {\color{red}5,2}\,m/s$

ai' então chegam a 0,4 no resultado.

por **JoaoGabriel** Sex 17 Dez 2010, 15:27

Nossa hahahahaha eu fiquei com o valor da tração em mente como se fosse o peso e troquei todas as bolas! Obrigado Euclides.

por **luiseduardo** Sex 17 Dez 2010, 15:29

Euclides escreveu:Ola JoaoGabriel e luiseduardo,

ta' tudo muito bom, so' cometeram um engano no valor da massa nos cálculos (0,3 e nao 0,5):

$\120dpi \\Tx=F_{cp}\\Tsen\theta=\frac {mv^2}{R}\\5\times0,8=\frac{0,{\color{red}3}v^2}{2}\\0,{\color{red}3}v^2=8\\v^2 \sim 27\\ v \sim {\color{red}5,2}\,m/s$

ai' então chegam a 0,4 no resultado.

Acho que tem razão Euclides.

Agora Euclides, olhando melhor o enunciado o pêndulo gera uma superfície cônica, eu acabei usando a fórmula do Tempo para o pêndulo simples que é:

T = 2*pi*V(L/g)

Dando assim a mesma resposta que o João Gabriel,
já que é um pêndulo cônico como seria a fórmula para calcular o tempo de um ciclo completo ?
Obrigado.

por **luiseduardo** Sex 17 Dez 2010, 22:03

Olá pessoal,
Achei um site que apresenta a fórmula do tempo num pêndulo cônico:

http://pt.wikilingue.com/es/Péndulo_cónico

Resolvendo encontramos aproximadamente:

f = 0,41 Hz

Agora o gabarito bate com a resposta.

Smile

por hutzmef Sex 17 Dez 2010, 23:30

muito interessante, vlw pela ajuda de todo mundo.
Luis Eduardo, sua conta para encontrar o período no pêndulo cônico foi feita de que forma?

ví o link que você mostrou da fórmula "feita", mas mesmo assim estou tendo dificuldade para encontrar os 0,41 Hz que tu encontrou..tem como me mostrar o processo?
obrigado.

por **luiseduardo** Sáb 18 Dez 2010, 10:14

Sem problema, é assim:

$tração no fio 8b2751653b724c7b66812e1efb06c4e1$

Essa é a fórmula do tempo.

2*3,14*raiz[(2,5*0,6)/10]

(Resolvendo)

T = 2,43 s

Como a frequencia é: f = 1/T

f = 1/2,43 =~ 0,41 Hz