(Iberoamericana-1985)

Seja P um ponto interior do triângulo equilátero ABC tal que: PA=5, PB=7 e PC=8. Encontre o comprimento do lado do triângulo ABC.

Spoiler:

Oi shady 17
Ufa! demorou um pouco mais encontrei. Há 3 anos quando estudei com meu filho para o CN lembro ter visto esse probl. Aí está. Anexei também o link do nosso clg Philipe) hoje também na Marinha. Espero que te ajude. Não sei quem criou a fórmula. 



https://pir2.forumeiros.com/t47736-o-lado-do-triangulo

Obrigado mestre, sensacional.

Mestre Raimundo, pedi ajuda ao mestre Rufino na questão e o mesmo me explicou de onde veio a fórmula, é o seguinte:

No caso em que P é dentro do triângulo ABC. Seja PA = a1, PB = a2, PC = a3. Gire o triângulo ABC do ponto A em 60 graus tal que mapeiam AB à AC. Denota-se então a imagem de P, após a rotação de Q.



Agora vemos que AP = PQ = AQ = a1 e a2 = PCQ. Pela lei do cosseno no triângulo PCQ nós temos:



só que





.






Agora:









Simplificando achamos a relação:

Eu acompanhei todos os passos de shady17, porém não consegui chegar a equação final: 3(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)=(a²+b²+c²+d²)². Eu já tentei isolar os termos pra um lado e raiz pro outro e elevar ao quadrado, porém fica uma conta enorme sem nenhuma perspectiva de se assemelhar ao que quero provar. Não sei se existe algum outro método de simplificar mais eficaz, gostaria de uma solução para esse problema. Deixo a imagem do desenvolvimento:

Hollo

nem tento obter essa fórmula porque não iria conseguir decorá-la. Mas resolvi a questão ao meu modo e talvez o caminho que segui sirva de algum modo para você burilar essa fórmula.

resolução

x = lado do triângulo equilátero ABC

com eixo em B rotacione o ∆BPC 60º anti-horário, formando o ∆BP₁A
com eixo em C rotacione o ∆CPA 60º anti-horário, formando o ∆CP₂B
com eixo em A rotacione o ∆APB 60º anti-horário, formando o ∆AP₃C

AˆBC = 60º = b₁ + b₂ ----> PˆBP₁ = 60º , e analogamente os âng.s PĈP₂ e PÂP₃

No ∆PBP₁ temos BP = BP₁ = 7 -----> ∆PBP₁ = equilátero (LAL) -----> PP₁ = 7
Analogamente para os triângulos ∆PCP₂ e ∆PAP₃

Então no hexágono AP₁BP₂CP₃ temos três triângulos equiláteros (áreas S₅, S₇, S₈) e três triângulos escalenos iguais com lados 5, 7, 8 (área S₀). Então se
S = área do triângulo equilátero ABC,
2S = área do hexágono AP₁BP₂CP₃.

portanto
2S = 3.S₀ + S₅ + S₇ + S₈