(IFRN 2018) Q22 - Probabilidade e Análise Combinatória

por Dr.Astro Ter 10 Set 2019, 11:58

Analisando as tabelas, um torcedor desejou saber qual seria a probabilidade de os três primeiros lugares da Copa serem ocupados por uma seleção do grupo A, por uma do grupo E e por uma do grupo F, não necessariamente nessa ordem. Após fazer alguns cálculos, o resultado que ele encontrou foi

a) $(IFRN 2018) Q22 - Probabilidade e Análise Combinatória 9f78b1ac24f0355629a9bf99bc0eb581$
b) $(IFRN 2018) Q22 - Probabilidade e Análise Combinatória 24a045e7a556f809e7f688716c51dd68$
c) $(IFRN 2018) Q22 - Probabilidade e Análise Combinatória 073191a537857be75fcb44450b45fc32$
d) $(IFRN 2018) Q22 - Probabilidade e Análise Combinatória 24f2823b4d2a94d5de6b9afeb5a5cc63$

Resposta::

por Dr.Astro Seg 16 Set 2019, 12:30

Alguém conseguiu resolver?

por **Mateus Meireles** Seg 16 Set 2019, 16:36

Olá,

Há C_{32}^3 = 4960 modos de escolher três times para ocuparem os três primeiros lugares na copa. Escolhidos os times, temos, ainda, 3! modos de "arranjá-los".

Os casos favoráveis são dados por 4\cdot4\cdot4 \cdot 3! (escolha dos times em cada grupo/modos de arrumá-los na colocação).

A resposta é \frac{4\cdot4\cdot4 \cdot 3!}{4960 \cdot 3!} = \frac{2}{155}

~~Dps eu confiro se eu errei na ideia/conta ou se~~ o gabarito está com falha.

Abs.

por Nickds12 Seg 16 Set 2019, 17:22

O resultado do gabarito você encontra fazendo

12 times em 1 lugar
8 times (12-4) em um segundo lugar
4 times (8-4) em um terceiro lugar
Como os três times podem permutar entre si - *3!
32 times em 3 lugares

(C12,1*C8,1*C4,1)*3!/(P32,3) = 2304/29760 = 12/155

Mas questão muito difícil para uma prova de admissão

por **Mateus Meireles** Seg 16 Set 2019, 20:12

Na verdade, quando contamos dessa maneira, estamos considerando o mesmo caso mais de uma vez.

Nickds12 escreveu:
12 times em 1 lugar
8 times (12-4) em um segundo lugar
4 times (8-4) em um terceiro lugar
Como os três times podem permutar entre si - *3!

Não há necessidade de multiplicar por 3!. Deixo como dever de casa a investigação desse fato.

Inclusive perceba que 12 \cdot 8 \cdot 4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 3!, que foi o que eu mostrei acima.

O gabarito sugerido pelo colega Dr. Astro está incorreto, a resposta realmente é C.