Integral definida

por **Giovana Martins** Ter 23 Jul 2019, 00:14

Deixo uma questão que apresenta um resultado bem elegante. Quem quiser tentar, tente resolver sem colocar a integral em software. Caso você não consiga, hoje a tarde eu posto o resultado.

\int_{0}^{1}(-1)^xdx

Matematicamente, o que o valor encontrado significa? Isso eu também não sei. Se alguém souber, nos explique, por favor Smile

.

Agora eu não me lembro o nome do canal do YouTube de onde eu tirei a questão. Hoje eu pesquiso certinho e posto a fonte aqui.

por **mauk03** Ter 23 Jul 2019, 11:53

Não sei se o meu resultado está correto e se a identidade (a^x)'=(a^x)ln(a) vale aqui, mas bateu com o resultado do wolfram alpha.

Por substituição:
$u=(-1)^{x}\Rightarrow \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=(-1)^{x}\ln(-1)$
$x=0\Rightarrow u=(-1)^{0}=1$
$x=1\Rightarrow u=(-1)^{1}=-1$

Sabendo que $e^{i\theta }=\cos\theta +i\sin\theta \Rightarrow e^{i\pi }=-1$ :
$\ln(-1)=a\Rightarrow e^{a}=-1\Rightarrow a=\ln(-1)=i\pi$
$\therefore \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}=i\pi(-1)^{x}\Rightarrow \frac{\mathrm{d} u}{i\pi}=(-1)^{x}\mathrm{d} x$

Assim:
$\int_{0}^{1}(-1)^{x}dx=\int_{1}^{-1}\frac{\mathrm{d} u}{i\pi}=\int_{-1}^{1}\frac{i}{\pi}\mathrm{d} u=\frac{2i}{\pi}$

Com relação ao significado desse resultado, vou ter que pensar mais um pouco aqui.

por **Giovana Martins** Ter 23 Jul 2019, 14:57

Sim. A resposta é esta mesmo Smile

. No vídeo a resolução é feita de um jeito semelhante a sua.

\\e^{\theta i}=cis(\theta )\ \therefore \ e^{\pi i}=cis(\pi)\to e^{\pi i}=-1\\\\\int_{0}^{1}(-1)^xdx=\int_{0}^{1}(e^{\pi i})^xdx=\int_{0}^{1}e^{\pi ix}dx,x>0\\\\\int_{0}^{1}(-1)^xdx=\left [ \frac{e^{\pi i x}}{\pi i} \right ]_{0}^{1}\to \boxed {\int_{0}^{1}(-1)^xdx=\frac{2i}{\pi }}

Eu achei o resultado bastante interessante, mas ainda não consegui entender o que ele significa kkkk. Se você descobrir, poste aqui, por favor Smile

.

Fonte: MindYourDecisions.

Vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=RuxhwBeTgM8

Obrigada a todos que tentarão resolver.

por SnoopLy Ter 23 Jul 2019, 15:24

É estranho uma integral definida convergir pra um complexo já que a essência da integral são somas que geram uma área, não faz sentido uma área ter resultado complexo

por Edsonrs Ter 23 Jul 2019, 15:30

A função que está sendo integrada representa uma circunferência de raio unitário no plano complexo. A integral nos dá a area de um setor circular com aprox Pi/10 rd.

por **Giovana Martins** Ter 23 Jul 2019, 15:31

Então era sobre isso que eu estava pensando. Talvez no plano de Argand-Gauss isso tenho uma melhor significação.

por **Giovana Martins** Ter 23 Jul 2019, 15:32

A minha última postagem foi para o colega Snooply.

Edsonrs escreveu:A função que está sendo integrada representa uma circunferência de raio unitário no plano complexo. A integral nos dá a area de um setor circular com aprox Pi/10 rd.

Interessante. Vou tentar pôr esse resultado no Geogebra para ver melhor isso.