Seno e cosseno do arco triplo (e outros)
PiR2 :: Recursos extras :: Demonstrações
Página 1 de 1
Seno e cosseno do arco triplo (e outros)
Comecei a estudar complexos a pouco tempo e me deparei com uma demonstração interessante do seno e cosseno do arco duplo, triplo,..., e até onde se conhecer o binômio de newton. É uma demonstração simples, mas que achei muito interessante.
Seja z=r(cos(θ)+isen(θ)) => zⁿ=rⁿ(cos(nθ)+isen(nθ)) (Moivre) => z³=r³(cos(3θ)+isen(3θ)) (1)
A potenciação ''comum'' de z³=r³(cos(θ)+isen(θ))³=r³(cos³(θ)+3cos²(θ)isen(θ)-3cos(θ)sen²(θ)-isen³(θ) (2)
(1)=(2)=>
r³(cos(3θ)+isen(3θ))=r³(cos³(θ)+3cos²(θ)isen(θ)-3cos(θ)sen²(θ)-isen³(θ)
(cos(3θ)+isen(3θ))=(cos³(θ)-3cos(θ)sen²(θ))+(3cos²(θ)sen(θ)-sen³(θ))i
Igualando as partes real com real e imaginário com imaginário =>
cos(3θ)=(cos³(θ)-3cos(θ)sen²(θ))=4cos³(θ)-3cos(θ) (Substituindo sen²(θ) por 1-cos²(θ))
sen(3θ)=(3cos²(θ)sen(θ)-sen³(θ))=3sen(θ)-4sen³(θ) (Substituindo cos²(θ) por 1-sen²(θ))
Me avisem caso tenha cometido algum erro.
Seja z=r(cos(θ)+isen(θ)) => zⁿ=rⁿ(cos(nθ)+isen(nθ)) (Moivre) => z³=r³(cos(3θ)+isen(3θ)) (1)
A potenciação ''comum'' de z³=r³(cos(θ)+isen(θ))³=r³(cos³(θ)+3cos²(θ)isen(θ)-3cos(θ)sen²(θ)-isen³(θ) (2)
(1)=(2)=>
r³(cos(3θ)+isen(3θ))=r³(cos³(θ)+3cos²(θ)isen(θ)-3cos(θ)sen²(θ)-isen³(θ)
(cos(3θ)+isen(3θ))=(cos³(θ)-3cos(θ)sen²(θ))+(3cos²(θ)sen(θ)-sen³(θ))i
Igualando as partes real com real e imaginário com imaginário =>
cos(3θ)=(cos³(θ)-3cos(θ)sen²(θ))=4cos³(θ)-3cos(θ) (Substituindo sen²(θ) por 1-cos²(θ))
sen(3θ)=(3cos²(θ)sen(θ)-sen³(θ))=3sen(θ)-4sen³(θ) (Substituindo cos²(θ) por 1-sen²(θ))
Me avisem caso tenha cometido algum erro.
marcosprb- Mestre Jedi
- Mensagens : 825
Data de inscrição : 08/05/2017
Tópicos semelhantes
» Seno e Cosseno de Arco Trigonométrico
» Seno e Cosseno de Arco trigonométrico
» Seno e cosseno de um arco trigonométrico
» seno e cosseno de arco trigonométrico
» Seno e cosseno de um arco trigonométrico
» Seno e Cosseno de Arco trigonométrico
» Seno e cosseno de um arco trigonométrico
» seno e cosseno de arco trigonométrico
» Seno e cosseno de um arco trigonométrico
PiR2 :: Recursos extras :: Demonstrações
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
|
|