Decomposição de vetores em direção genérica

Olá, tudo bem?
Eu tenho uma dúvida em relação a decomposição de vetores em 3D. O problema é que eu preciso de valores no espaço ortogonal, mas a decomposição não é nos eixos x, y e z. Na figura eu tenho um vetor V, em preto, com valores conhecidos (V=(a,b,c)) e o vetor i, unitário, em um direção aleatória no espaço(i=(d,e,f)). Eu preciso decompor o vetor V em outros dois vetores, um paralelo a i (Vi=(x1,y1,z1)) e outro perpendicular a i (Vii=(x2,y2,z2)). Então, inverter a componente Vi no espaço e somar com Vii para formar o vetor resultante R.
A unica coisa que eu consigo chegar é o angulo alfa entre V e i, através da definição de produto interno. Acredito que com os valores das variaveis de Vi e Vii, é só inverter x1,y1 e z1 e somar vetorialmente com Vii para chegar a R, mas nao consigo imaginar como decompor V na direção desejada. Como proceder?

Obs: Apesar do desenho estar em 2D, o problema se refere ao espaço 3D, e i não esta paralelo ao eixo x.