Número de raízes de sen x = x/200

Calculando o número de raízes estritamente positivas da equação sen x = x/200, que valor se obtém? Assinale o item correto:

A) 30;
B) 31;
C) 61;
D) 62;
E) 63 

GAB:

  

Alguém pode me ajudar com essa questão? Desde já, muito obrigado!

Elton, essa questão é muito difícil, daqui a pouco  eu escrevo alguma coisa aqui
 
De que material ela é?

Obrigado! Tentei aqui, mas não tive nem ideia de como sair do lugar. kk

Fazendo uma avaliação gráfica, e considerando que "zero" não é uma raiz estritamente positiva, obtemos:

Não entendi o cálculo que chegou em 31,8. rsrs
Sabe o conteúdo específico sobre essa questão para eu dar uma estudada melhor sobre o assunto?!

g(x) = (1/200).x 

Cada período de senx equivale a 2.pi ~= 6,28 rad

1 ---- 6,28
n ---- 200 

n = 200/6,27 -0--> n ~= 31,8 períodos

dividi a equação em duas funcoes: f(x) = g(x). As raízes desta equação serão as intersecções da f com a g.

f(x) = sen(x), que varia de -1 a +1 -- iniciando em (0, 0) -- e cujo período é 2.pi.

g(x) = x/200, ou seja uma reta passando por (0, 0) e por (200, 1) -- ponto a partir do qual a g(x) assume valores maiores do que +1 e portanto sem chance de interseccionar com a f(x).

Como se deseja as raízes estritamente positivas devemos ignorar as abscissas negativas das funções f e g (olhe para o desenho que você entenderá).

a questão é: quantos períodos da f(x) cabem entre x=0 e x=200? Ora, cabem 200/(2.pi) ~= 100/3,14 = 31,8. E a cada período da f, na sua parte positiva, ela é cortada duas vezes pela g.

Observe, entretanto, que tanto a f(x) como a g(x) partem da origem (0, 0)  e não se pode considerar o zero como uma raiz positiva, portanto esta intersecção deve ser descontada. Assim, em 31 períodos inteiros temos (31*2 - 1) intersecções.

Mas ainda temos 0,8 períodos da f dentro dos x=200; e 0,8 é mais que 0,5 ou meio período da f(x), cabendo neste intervalo mais um ciclo positivo do seno e portanto mais 2 intersecções (vide pontos verdes).

Consegui compreender! Muito obrigado, pessoal!

Vou mostrar uma outra solução que me fizeram para um problema semelhante a esse.

Do enunciado, temos:

sen x = \frac{x}{200}\,\,\, \Rightarrow \,\,\, x = 200\cdot senx

Portanto,

-200 \leq x \leq 200

Realizando uma mudança de variável para o problema, obtemos

x = 200\cdot sen(\alpha), tal que \frac{-\pi}{2}\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}

Ou seja,

200\cdot sen(\alpha) = 200\cdot senx

sen(\alpha) - senx= 0 \iff sen\left(\frac{\alpha-x}{2} \right)cos\left(\frac{\alpha+x}{2} \right)=0

Daí,

\begin{cases}
\frac{\alpha-x}{2} =k\pi \,\,\, \Rightarrow \,\,\, x=-2k\pi+\alpha\,\,\, \mathrm{{\color{Red} (I)}} \\
\frac{ \alpha + x}{2} =k\pi+\pi/2\,\,\, \Rightarrow \,\,\, x=2k\pi+\pi-\alpha \,\,\, \mathrm{{\color{Red} (II)}}
\end{cases}

Usando que

-200 \leq x \leq 200

Nas equações mostradas, tem-se

\mathrm{{\color{Red} I)}}  -200 \leq -2k\pi+\alpha \leq 200

Mas sabemos, também, que

\frac{-\pi}{2}\leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}

Ou seja,

 -200 \leq -2k\pi - \pi/2 \leq 200

Para valores negativos de k, temos 32 soluções

x=-2\pi\textbf{(-32)}-\pi/2= 199,49

Realizando a mesma análise para o outro caso,

\mathrm{{\color{Red} II)}}  -200 \leq 2k\pi+\pi-\alpha \leq 200

Para valores positivos de k, temos 31 soluções

x = 2\textbf{(31)}\pi+3\pi/2 = 199,49

Veja que se calcularmos as soluções com k positivo (I) e k negativo (II) teremos soluções negativas, o que não satisfaz o problema. Portanto, 31 + 32 = 63 soluções.