Coordenadas do Diametro de uma esfera

por Cristina Lins Qua 07 Nov 2018, 10:18

determine as extremidades do diâmetro da esfera S: x² + y² + z² +2x - 6y + z - 11= 0, que é perpendicular ao plano pi: 5x - y + 2z =17

por **Victor011** Seg 17 Dez 2018, 21:21

Fatorando a equação da esfera:

\\S: (x+1)^2 + (y-3)^2 + (z+\frac{1}{2})^2 = \frac{85}{4}\;\;\begin{cases}C=(-1,3,-\frac{1}{2})\\R=\frac{\sqrt{85}}{2}\end{cases}

Agora que sabemos o centro da esfera, vamos analisar a equação do plano:

π : 5x - y + 2z - 17 = 0

Vetor diretor perpendicular ao plano : V = (5, -1, 2)

Equação da reta perpendicular ao plano, passando pelo centro da esfera:

\\\begin{cases}x=5t-1\\y=3-t\\z=2t-\frac{1}{2}\end{cases}

As coordenadas do diâmetro são as intersecções entre a esfera e a reta:

\\(x+1)^2 + (y-3)^2 + (z+\frac{1}{2})^2 = \frac{85}{4}\\\\(5t-1+1)^2 + (3-t-3)^2 + (2t-\frac{1}{2}+\frac{1}{2})^2 = \frac{85}{4}\\\\30t^2=\frac{85}{4}\\\\t = \pm \frac{\sqrt{102}}{12}\rightarrow t_{1}=\frac{\sqrt{102}}{12}\;e\;t_{2}=-\frac{\sqrt{102}}{12}

Como os pontos da extremidade do diâmetro pertencem à reta, eles serão:

\\D_{1}=\begin{cases}x=5\frac{\sqrt{102}}{12}-1\\y=3-\frac{\sqrt{102}}{12}\\z=2\frac{\sqrt{102}}{12}-\frac{1}{2}\end{cases}\;e\;D_{2}=\begin{cases}x=-(5\frac{\sqrt{102}}{12}+1)\\y=3+\frac{\sqrt{102}}{12}\\z=-(2\frac{\sqrt{102}}{12}+\frac{1}{2})\end{cases}

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