Arranjo + Combinação

Uma professora deseja realizar uma atividade em grupo com seus alunos. Ela formará apenas um grupo por vez e sempre que formar um grupo, deverá formar com alunos diferentes dos grupos anteriores a fim de que todos participem apenas uma vez. O grupo formado terá 5 alunos e a turma é composta por 25 alunos. Além disso, o grupo será disposto em fila, de forma que a ordem que se dispõe o grupo irá importar. De quantas maneiras diferentes é possível formar o terceiro grupo?
resposta: 15!/10!

Vou deixar aqui a minha tentativa (não consegui resolver) e aguardar a resolução de outro colega.

Inicialmente, devemos escolher 15 alunos para serem formados os três primeiros grupos, já que para formar o terceiro é necessário que seja formado o primeiro e o segundo anteriormente.

O número de formas de escolhermos 15 alunos de 25 possíveis é dado por   . Escolhido os alunos, naturalmente os grupos podem ser formados dispondo essas pessoas em fila, de modo que o primeiro grupo seja formado pelas 5 primeiras pessoas, o segundo grupo pelas 5 seguintes e, por fim, o terceiro grupo pelas 5 últimas. Como há 15! formas de colocar 15 pessoas em fila, a resposta deveria ser  

Quando os dois primeiros grupos forem formados, só teremos 15 alunos para formar o terceiro grupo com 5 vagas em que a ordem importa.

A_{15,5}=\frac{15!}{(15-5)!}=\frac{15!}{10!}

Olá, Lucas

Eu não entendi muito bem essa linha de raciocínio, pois ao meu ver parece que as escolhas realizas anteriormente são irrelevantes. Uma forma fácil de visualizar isso é que se fosse pedido o número de maneiras diferentes de formar o último grupo a resposta seria 5!.

Suponha que tenham restado as pessoas A,B,C,D, e E. De fato, a resposta é 5!, mas basta nós trocarmos as pessoas que restam ao final, que nós já teríamos + 5!  possibilidades.

Exato! Como o dois grupos já foram formados, aquelas 10 pessoas não podem mais ser escolhidas. O enunciado não pede para formar o primeiro, nem o segundo, apenas o terceiro, o que presume que dois grupos já foram formados, e as pessoas escolhidas não podem sair já que o enunciado diz que a professora só pode formar um grupo por vez e sempre com alunos diferentes.

Eu entendi o que você quis dizer, e pensei dessa forma também antes de escrever o meu primeiro comentário. Mas mesmo batendo com o gabarito acreditei que a ideia estivesse falha

Citando o caso do último grupo, para mim, o correto seria fazer:





Isto é, quando escolhida as 20 pessoas que serão usadas para formar os 4 primeiros grupos, o último grupo estará determinado, e ele poderá ser permutado de 5! entre as pessoas que restaram..


O mesmo vale para o terceiro grupo, 

Mateus Meireles escreveu: 

A notação ficou diferente por causa da sugestão de gabarito do autor do tópico.